Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
von $\R^2$ nach $\R^2$ auftreten?
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Regular quadrilateral.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Regular quadrilateral.svg } {} {Gustavb} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {U+25B1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { U+25B1.svg } {} {Sarang} {Public domain} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Regular triangle.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Regular triangle.svg } {} {Gustavb} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Trapezoid2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Trapezoid2.png } {} {Rzukow} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Hexagon.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Hexagon.svg } {} {} {Commons} {} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Blancuco.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Blancuco.jpg } {} {Tronch~commonswiki} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Zero-dimension.GIF} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Zero-dimension.GIF } {} {斬雲割風} {zh.wikipedia} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Segment graphe.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Segment graphe.jpg } {} {Tartalacitrouille} {Commons} {CC-ba-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Disk 1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Disk 1.svg } {} {Paris 16} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Geometri romb.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Geometri romb.png } {} {Nicke} {Commons} {gemeinfrei} {}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.
\aufzaehlungvier{Für einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
$\varphi(S)$ ein Untervektorraum von $W$.
}{Insbesondere ist das Bild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ = }{ \varphi(V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Abbildung ein Untervektorraum von $W$.
}{Für einen Unterraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(T)}{} ein Untervektorraum von $V$.
}{Insbesondere ist
\mathl{\varphi^{-1}(0)}{} ein Untervektorraum von $V$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & -2 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie sieht der \definitionsverweis {Graph}{}{} einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {,} \maabbdisp {g} {\R} {\R^2 } {,} \maabbdisp {h} {\R^2} {\R } {} aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den \definitionsverweis {Kern}{}{} der Abbildung?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
die durch die Matrix
\mathl{M= \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}}{}
\zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {}
festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}}{} und
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Telefonanbieter $A,B$ und $C$ kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr $j$ durch das Kundentupel
\mathl{K_j=(a_j,b_j,c_j)}{} ausgedrückt wird (dabei steht $a_j$ für die Anzahl der Kunden von $A$ im Jahr $j$ usw.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.
\aufzaehlungdrei{Die Kunden von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$ und wechseln zu je $10\%$ zu $B$ bzw. zu $C$.
}{Die Kunden von $B$ bleiben zu $70\%$ bei $B$ und wechseln zu $10\%$ zu $A$ und zu $20\%$ zu $C$.
}{Die Kunden von $C$ bleiben zu $50\%$ bei $C$ und wechseln zu $20\%$ zu $A$ und zu $30\%$ zu $B$.
}
a) Bestimme die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} (bzw. die Matrix), die das Kundentupel
\mathl{K_{j+1}}{} aus $K_j$ berechnet.
b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel
\mathl{(12000,10000,8000)}{} innerhalb eines Jahres?
c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel
\mathl{(10000,0,0)}{} in vier Jahren?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
\mathl{U \subseteq V}{} ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen $K$-Vektorraum $W$ und eine surjektive $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {K^3} {K^2
} {\begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}
} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ K^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der durch die lineare Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2x+3y+4z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $K^3$, und $\psi$ sei die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $\varphi$ auf $U$. Zu $U$ gehören Vektoren der Form
\mathdisp {u=(0,1,a),\, v=(1,0,b) \text{ und } w=(1,c,0)} { . }
Berechne
\mathl{a,b,c}{} und die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathdisp {\mathfrak{ b }_1= v,w , \, \mathfrak{ b }_2 = u,w \text{ und } \mathfrak{ b }_3 = u,v} { }
von $U$ sowie die
\definitionsverweis {beschreibenden Matrizen}{}{}
für $\psi$ bezüglich dieser drei Basen
\zusatzklammer {und der Standardbasis auf $K^2$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Vektorenfamilien
\mathdisp {\mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix} \text{ und } \mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} { }
im $\R^4$ bzw. $\R^3$. Die \definitionsverweis {Standardbasen}{}{}
seien mit $\mathfrak{ e }_4$ und $\mathfrak{ e }_3$ bezeichnet. Die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {\R^4} {\R^3} {} sei durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -2 & -2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezüglich der Standardbasen gegeben. Bestimme die
\definitionsverweis {beschreibenden Matrizen}{}{}
von $f$ bezüglich der
\definitionsverweis {Basen}{}{}
a) $\mathfrak{ e }_4$ und $\mathfrak{ v }$,
b) $\mathfrak{ u }$ und $\mathfrak{ e }_3$,
c) $\mathfrak{ u }$ und $\mathfrak{ v }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige Korollar 8.10 mit Hilfe von Korollar 11.8 und Aufgabe 10.22.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {,} die nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, deren \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} \maabbdisp {} {\Q^2} { \R^2 } {} aber injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 9.5 mit Hilfe von Lemma 11.9 und Beispiel 10.12.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 5 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ und \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R^2 } {x} {A \cdot x } {} die zugehörige lineare Abbildung. \aufzaehlungdrei{Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von $\operatorname{Kern}(f) \,$ und $\operatorname{Bild}(f) \,$. }{Finde einen Untervektorraum $V \subset \R^3$ derart, dass $\R^3=V \oplus \operatorname{Kern}(f) \,$ gilt. }{Gibt es auch einen Untervektorraum $U \subset \R^2$, $U \neq \{0\}$, mit $\R^2=U \oplus \operatorname{Bild}(f) \,$? }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabb {f} {V } {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{
\mathl{\operatorname{kern} f = \operatorname{kern} { \left( f \circ f \right) }}{}
}{
\mathl{\operatorname{kern} f \cap \operatorname{bild} f = \{0\}}{}
}{
\mathl{V=\operatorname{kern} f \oplus \operatorname{bild} f}{}
}{
\mathl{\operatorname{bild} f= \operatorname{bild} { \left( f \circ f \right) }}{.}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Bild}{}{} und den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^4} {\R^4 } {\begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & 7 & -1 \\ -1 & 2 & 3 & -2 \\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die durch die lineare Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 5x+7y-4z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Ebene. Bestimme eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^3
} {}
derart, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $\varphi$ gleich $E$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Auf dem reellen
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { \R^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Glühweine betrachten wir die beiden
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
\maabbeledisp {\pi} {G} {\R
} { \begin{pmatrix} z \\n\\ r\\s \end{pmatrix}} {8z+9n+5r+s
} {,}
und
\maabbeledisp {\kappa} {G} {\R
} { \begin{pmatrix} z \\n\\ r\\s \end{pmatrix}} {2z+n+4r+8s
} {.}
Wir stellen uns $\pi$ als Preisfunktion und $\kappa$ als Kalorienfunktion vor. Man bestimme
\definitionsverweis {Basen}{}{}
für
\mathl{\operatorname{kern} \pi}{,} für
\mathl{\operatorname{kern} \kappa}{} und für
\mathl{\operatorname{kern} (\pi \times \kappa)}{}\zusatzfussnote {Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn} {.} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (3+1+2)}
{
Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr $j$ wird daher durch ein $5$-Tupel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_j
}
{ =} { \left( b_{1,j} , \, b_{2,j} , \, b_{3,j} , \, b_{4,j} , \, b_{5,j} \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angegeben.
Von den Traglingen erreichen
\mathl{7/8}{-}tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen
\mathl{9/10}{-}tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen
\mathl{5/6}{-}tel das reife Alter und von den Reifen erreichen
\mathl{2/3}{-}tel das fünfte Jahr.
Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und $10$ Halbstarke zeugen $5$ Nachkommen und $10$ Reife zeugen $8$ Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.
a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand
\mathl{B_{j+1}}{} aus dem Bestand
\mathl{B_j}{} berechnet.
b) Was wird aus dem Bestand
\mathl{\left( 200 , \, 150 , \, 100 , \, 100 , \, 50 \right)}{} im Folgejahr?
c) Was wird aus dem Bestand
\mathl{\left( 0 , \, 0 , \, 100 , \, 0 , \, 0 \right)}{} in fünf Jahren?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $z \in {\mathbb C}$ eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} und es sei \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {w} {zw } {,} die dadurch definierte Multiplikation, die eine ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} ist. Wie sieht die \definitionsverweis {Matrix}{}{} zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis \mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {} aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen \mathkor {} {z_1} {und} {z_2} {} mit den beiden reellen Matrizen \mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {} die \definitionsverweis {Produktmatrix}{}{} $M_2 \circ M_1$ die beschreibende Matrix zu $z_1z_2$ ist.
}
{} {}
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