Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 10

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Um die Erde wird entlang des Äquators ein Band gelegt. Das Band ist jedoch einen Meter zu lang, so dass es ringsherum gleichmäßig angehoben wird, um straff zu werden. Welche der folgenden Lebewesen können drunter durch laufen/schwimmen/fliegen/tanzen?

  1. Eine Amöbe.
  2. Eine Ameise.
  3. Eine Meise.
  4. Eine Flunder.
  5. Eine Boa constrictor.
  6. Ein Meerschweinchen.
  7. Eine Boa constrictor, die ein Meerschweinchen verschluckt hat.
  8. Ein sehr guter Limbotänzer.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass für beliebige Vektoren und Koeffizienten die Beziehung

gilt.


Aufgabe *

Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Zeige .


Aufgabe *

Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Es sei . Zeige .


Aufgabe

Eine Unze Gold kostet €.

a) Wie viel kosten sieben Unzen Gold?

b) Wie viel Gold bekommt man für €?


Aufgabe

Von einer Brotsorte kostet ein Laib mit Gramm €.

a) Wie viel kostet ein Laib mit Gramm?

b) Wie viel Brot bekommt man für €?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein fährt mit ihrem Fahrrad 10 Meter pro Sekunde.

a) Wie viele Kilometer fährt sie pro Stunde?

b) Wie lange braucht sie für 100 Kilometer?


Aufgabe

Fünf Spaziergänger laufen eine Strecke in 35 Minuten ab. Am nächsten Tag laufen 7 Spaziergänger die gleiche Strecke in gleichem Tempo. Wie lange brauchen sie?


Aufgabe

Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von nach . Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt?

  1. Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit.
  2. Masse ist Volumen mal Dichte.
  3. Energie ist Masse mal Brennwert.
  4. Kraft ist Masse mal Beschleunigung.
  5. Energie ist Kraft mal Weg.
  6. Energie ist Leistung mal Zeit.
  7. Spannung ist Widerstand mal Stromstärke.
  8. Ladung ist Stromstärke mal Zeit.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.[1]


Aufgabe

Es sei

eine direkte Zerlegung eines -Vektorraumes in Untervektorräume . Zeige, dass für jedes die Abbildung

wobei die eindeutige Summenzerlegung von ist, linear ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

eine lineare Abbildung ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und zwei -Vektorräume. Es sei

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

linear ist.


Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung mit

gegeben. Berechne


Aufgabe *

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Chocolates.jpg

Aufgabe

In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle (in geeigneten Maßeinheiten) wiedergegeben:

Sorte Kalorien Vitamin C Fett
Schokokeks 10 5 3
Waffelröllchen 8 7 6
Mandelstern 7 3 1
Nougatring 12 0 5

a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel das Aufnahmetupel berechnet.

b) Heinz isst Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.

c) Ludmilla isst Nougatringe und Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.

d) Peter isst Mandelsterne mehr und Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.


Aufgabe

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildungen

und

-lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation -linear, aber nicht -linear ist. Ist der Betrag

-linear?


Aufgabe *

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.


Aufgabe

Ergänze den Beweis zu Satz 10.9 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Abbildung

linear ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass für die Abbildung

die folgenden Beziehungen gelten.

  1. ist injektiv genau dann, wenn linear unabhängig sind.
  2. ist surjektiv genau dann, wenn ein Erzeugendensystem von ist.
  3. ist bijektiv genau dann, wenn eine Basis ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zu seien -Vektorräume und sowie lineare Abbildungen

gegeben. Zeige, dass dann auch die Produktabbildung

eine lineare Abbildung zwischen den Produkträumen ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei ein Erzeugendensystem von und es sei eine Familie von Vektoren in .

a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung

mit für alle

geben kann.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit für alle gibt.


Aufgabe

Beweise Lemma 10.13.


Aufgabe

Betrachte die Abbildung

die eine rationale Zahl auf schickt und die alle irrationalen Zahlen auf schickt. Ist dies eine -lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Mengen. Zeige, dass durch eine Abbildung

eine lineare Abbildung

festgelegt ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Mengen. Es sei

eine Abbildung.

a) Zeige, dass durch eine lineare Abbildung

festgelegt ist.

b) Es habe nun zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche Fasern endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung

festgelegt ist.

Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine Indexmenge mit einer Zerlegung

Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

vorliegt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Zeige, dass und genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl der linearen Abbildungen




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe (3 Punkte)

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum des Produktraumes ist.


Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Seien und Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

für alle gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien und -Vektorräume und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass bereits -linear ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und Untervektorräume der gleichen Dimension. Zeige, dass es einen -Automorphismus

mit

gibt.




Fußnoten
  1. Eine solche Abbildung heißt Homothetie oder Streckung mit dem Streckungsfaktor .


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