Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 12

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Zeige, dass die Multiplikation mit -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung haben.

  1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
  2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
  3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().


Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.


Aufgabe

Zeige, dass man eine Scherungsmatrix

als Matrizenprodukt schreiben kann, wobei und Diagonalmatrizen sind und eine Scherungsmatrix der Form ist.


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe *

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix


Aufgabe *

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem


Aufgabe

Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix

Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.


Aufgabe

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix und eine invertierbare -Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Gleichung

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

für jedes zu sich selbst invers ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

unter der Voraussetzung durch.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass

gilt.


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