Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 11

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer linearen Abbildung von nach auftreten?

Regular quadrilateral.svg
U+25B1.svg
Regular triangle.svg
Trapezoid2.png
Hexagon.svg
Blancuco.jpg
Zero-dimension.GIF
Segment graphe.jpg
Disk 1.svg
Geometri romb.png




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

  1. Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
  2. Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
  3. Für einen Unterraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
  4. Insbesondere ist ein Untervektorraum von .


Aufgabe *

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe *

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe

Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung

aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den Kern der Abbildung?


Aufgabe *

Es sei

die durch die Matrix (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basis und .


Aufgabe

Die Telefonanbieter und kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr durch das Kundentupel ausgedrückt wird (dabei steht für die Anzahl der Kunden von im Jahr u.s.w.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

  1. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu je zu bzw. zu .
  2. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .
  3. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel aus berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel in vier Jahren?


Aufgabe *

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe *

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen -Vektorraum und eine surjektive -lineare Abbildung

derart gibt, dass ist.


Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

Es sei der durch die lineare Gleichung definierte Untervektorraum von , und sei die Einschränkung von auf . Zu gehören Vektoren der Form

Berechne und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

von sowie die beschreibenden Matrizen für bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ).


Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

im bzw. . Die Standardbasen seien mit und bezeichnet. Die lineare Abbildung

sei durch die Matrix

bezüglich der Standardbasen gegeben. Bestimme die beschreibenden Matrizen von bezüglich der Basen

a) und ,

b) und ,

c) und .


Aufgabe

Beweise Lemma 9.7 mit Hilfe von Satz 11.5.


Aufgabe

Zeige Korollar 8.10 mit Hilfe von Korollar 11.8 und Aufgabe 10.22.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

die nicht injektiv ist, deren Einschränkung

aber injektiv ist.


Aufgabe

Beweise Lemma 9.5 mit Hilfe von Lemma 11.9 und Beispiel 10.12.


Aufgabe

Sei und

die zugehörige lineare Abbildung.

  1. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von und .
  2. Finde einen Untervektorraum derart, dass gilt.
  3. Gibt es auch einen Untervektorraum , , mit ?


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Bild und den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die durch die lineare Gleichung gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung

derart, dass das Bild von gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Auf dem reellen Vektorraum der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

und

Wir stellen uns als Preisfunktion und als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für , für und für .[1]


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr wird daher durch ein -Tupel angegeben.

Von den Traglingen erreichen -tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen -tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen -tel das reife Alter und von den Reifen erreichen -tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und Halbstarke zeugen Nachkommen und Reife zeugen Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand aus dem Bestand berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand in fünf Jahren?


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine komplexe Zahl und es sei

die dadurch definierte Multiplikation, die eine -lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis und aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen und mit den beiden reellen Matrizen und die Produktmatrix die beschreibende Matrix zu ist.




Fußnoten
  1. Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn.


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