Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 11

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer linearen Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$ auftreten?

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

1. Für einen Untervektorraum ${}S\subseteq V$ ist auch das Bild ${}\varphi (S)$ ein Untervektorraum von ${}W$.
2. Insbesondere ist das Bild ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (V)$ der Abbildung ein Untervektorraum von ${}W$.
3. Für einen Unterraum ${}T\subseteq W$ ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ ein Untervektorraum von ${}V$.
4. Insbesondere ist ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untervektorraum von ${}V$.

Aufgabe *

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&1&5&2\\3&-2&7&-1\\2&-1&-4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

Bestimme den Kern der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&3&0&-1\\4&2&2&5\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}.$

Aufgabe

Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den Kern der Abbildung?

Aufgabe *

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die durch die Matrix ${}M={\begin{pmatrix}5&1\\2&3\end{pmatrix}}$ (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$.

Aufgabe

Die Telefonanbieter ${}A,B$ und ${}C$ kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr ${}j$ durch das Kundentupel ${}K_{j}=(a_{j},b_{j},c_{j})$ ausgedrückt wird (dabei steht ${}a_{j}$ für die Anzahl der Kunden von ${}A$ im Jahr ${}j$ usw.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

1. Die Kunden von ${}A$ bleiben zu ${}80\%$ bei ${}A$ und wechseln zu je ${}10\%$ zu ${}B$ bzw. zu ${}C$.
2. Die Kunden von ${}B$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}B$ und wechseln zu ${}10\%$ zu ${}A$ und zu ${}20\%$ zu ${}C$.
3. Die Kunden von ${}C$ bleiben zu ${}50\%$ bei ${}C$ und wechseln zu ${}20\%$ zu ${}A$ und zu ${}30\%$ zu ${}B$.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel ${}K_{j+1}$ aus ${}K_{j}$ berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel ${}(12000,10000,8000)$ innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel ${}(10000,0,0)$ in vier Jahren?

Aufgabe *

Die Zeitungen ${}A,B$ und ${}C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${}100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von ${}A$ bleiben zu ${}80\%$ bei ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$, ${}5\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}5\%$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von ${}B$ bleiben zu ${}60\%$ bei ${}B$, ${}10\%$ wechseln zu ${}A$, ${}20\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}10\%$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von ${}C$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}C$, niemand wechselt zu ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$ und ${}20\%$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${}10\%$ für ein Abonnement von ${}A,B$ oder ${}C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${}20000$ Abonnenten und es gibt ${}40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${}100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen ${}K$-Vektorraum ${}W$ und eine surjektive ${}K$-lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

derart gibt, dass ${}U=\operatorname {kern} \varphi$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&2&5\\4&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

Es sei ${}U\subseteq K^{3}$ der durch die lineare Gleichung ${}2x+3y+4z=0$ definierte Untervektorraum von ${}K^{3}$, und ${}\psi$ sei die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U$. Zu ${}U$ gehören Vektoren der Form

$u=(0,1,a),\,v=(1,0,b){\text{ und }}w=(1,c,0).$

Berechne ${}a,b,c$ und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

${\mathfrak {b}}_{1}=v,w,\,{\mathfrak {b}}_{2}=u,w{\text{ und }}{\mathfrak {b}}_{3}=u,v$

von ${}U$ sowie die beschreibenden Matrizen für ${}\psi$ bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ${}K^{2}$).

Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

${\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ bzw. ${}\mathbb {R} ^{3}$. Die Standardbasen seien mit ${}{\mathfrak {e}}_{4}$ und ${}{\mathfrak {e}}_{3}$ bezeichnet. Die lineare Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

sei durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}-2&3&2&3\\-3&5&0&1\\-1&2&-2&-2\end{pmatrix}}\,$

bezüglich der Standardbasen gegeben. Bestimme die beschreibenden Matrizen von ${}f$ bezüglich der Basen

a) ${}{\mathfrak {e}}_{4}$ und ${}{\mathfrak {v}}$,

b) ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {e}}_{3}$,

c) ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {v}}$.

Aufgabe

Beweise Lemma 9.7 mit Hilfe von Satz 11.5.

Aufgabe

Zeige Korollar 8.10 mit Hilfe von Korollar 11.8 und Aufgabe 10.23.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die nicht injektiv ist, deren Einschränkung

$\mathbb {Q} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

aber injektiv ist.

Aufgabe

Beweise Lemma 9.5 mit Hilfe von Lemma 11.9 und Beispiel 10.12.

Aufgabe

Es sei ${}A={\begin{pmatrix}3&1&5\\-1&0&2\end{pmatrix}}$ und

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto A\cdot x$

die zugehörige lineare Abbildung.

1. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von ${}\operatorname {kern} f$ und ${}\operatorname {bild} f$.
2. Finde einen Untervektorraum ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ derart, dass

   ${}\mathbb {R} ^{3}=V\oplus \operatorname {kern} f\,$

   gilt.

3. Gibt es auch einen Untervektorraum ${}U\subset \mathbb {R} ^{2}$, ${}U\neq 0$, mit ${}\mathbb {R} ^{2}=U\oplus \operatorname {bild} f$?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}f\colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\operatorname {kern} f=\operatorname {kern} {\left(f\circ f\right)}$,
2. ${}\operatorname {kern} f\cap \operatorname {bild} f=\{0\}$,
3. ${}V=\operatorname {kern} f\oplus \operatorname {bild} f$,
4. ${}\operatorname {bild} f=\operatorname {bild} {\left(f\circ f\right)}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Bild und den Kern der linearen Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&3&4&-1\\2&5&7&-1\\-1&2&3&-2\\-2&0&0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die durch die lineare Gleichung ${}5x+7y-4z=0$ gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

derart, dass das Bild von ${}\varphi$ gleich ${}E$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Auf dem reellen Vektorraum

${}G=\mathbb {R} ^{4}\,$

der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

$\pi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}z\\n\\r\\s\end{pmatrix}}\longmapsto 8z+9n+5r+s,$

und

$\kappa \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}z\\n\\r\\s\end{pmatrix}}\longmapsto 2z+n+4r+8s.$

Wir stellen uns ${}\pi$ als Preisfunktion und ${}\kappa$ als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für ${}\operatorname {kern} \pi$, für ${}\operatorname {kern} \kappa$ und für ${}\operatorname {kern} (\pi \times \kappa )$.

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr ${}j$ wird daher durch ein ${}5$-Tupel

${}B_{j}=\left(b_{1,j},\,b_{2,j},\,b_{3,j},\,b_{4,j},\,b_{5,j}\right)\,$

angegeben.

Von den Traglingen erreichen ${}7/8$-tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen ${}9/10$-tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen ${}5/6$-tel das reife Alter und von den Reifen erreichen ${}2/3$-tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und ${}10$ Halbstarke zeugen ${}5$ Nachkommen und ${}10$ Reife zeugen ${}8$ Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand ${}B_{j+1}$ aus dem Bestand ${}B_{j}$ berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand ${}\left(200,\,150,\,100,\,100,\,50\right)$ im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand ${}\left(0,\,0,\,100,\,0,\,0\right)$ in fünf Jahren?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl und es sei

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto zw,$

die dadurch definierte Multiplikation, die eine ${}{\mathbb {C} }$- lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen ${}z_{1}$ und ${}z_{2}$ mit den beiden reellen Matrizen ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ die Produktmatrix ${}M_{2}\circ M_{1}$ die beschreibende Matrix zu ${}z_{1}z_{2}$ ist.

Fußnoten