Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 15/latex
\setcounter{section}{15}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller379.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Schon in jungen Jahren zeigte Vorli ihre soziale Ader, indem sie Kuscheltiere um sich versammelte.} }
\bildlizenz { Waeller379.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\zwischenueberschrift{Unterräume und Dualraum}
Untervektorräume eines $K$-Vektorraumes $V$ stehen in direkter Beziehung zu Untervektorräumen des \definitionsverweis {Dualraumes}{}{} ${ V }^{ * }$.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ f \in { V }^{ * } \mid f(u) = 0 \text{ für alle } u \in U \right\} }
}
{ \subseteq} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
\definitionswort {Orthogonalraum}{}
zu $U$.
}
Diese Orthogonalräume sind Untervektorräume von ${ V }^{ * }$, siehe
Aufgabe 15.4.
Ob eine Linearform $f$ zu
\mathl{U^{ { \perp } }}{} gehört, kann man auf einem
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $U$ überprüfen, siehe
Aufgabe 15.5.
Die Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ U^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist äquivalent zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im zweiten Semester, wenn wir Skalarprodukte zur Verfügung haben, wird es auch einen Orthogonalraum zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $V$ selbst geben.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 8 \\6\\ 5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\7\\ -3 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subseteq} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Orthogonalraum}{}{}
zu $U$ besteht aus allen
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\maabbdisp {f} {\R^3} { \R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f \begin{pmatrix} 8 \\6\\ 5 \end{pmatrix}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f \begin{pmatrix} 4 \\7\\ -3 \end{pmatrix}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da eine Linearform bezüglich der Standardbasis durch eine Zeilenmatrix
\mathl{\left( a , \, b , \, c \right)}{} gegeben ist, geht es um die Lösungsmenge des Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8a +6b+5c
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4a +7b-3c
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Lösungsraum ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ s \left( { \frac{ 17 }{ 4 } } , \, 1 , \, -8 \right) \mid s \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
und
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mathbed {v_i^*} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle v_j ,\, j \in J \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ =} { \langle v_i^* ,\, i \not\in J \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
${ V }^{ * }$ zu $V$. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid f(v) = 0 \text{ für alle } f \in F \right\} }
}
{ \subseteq} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
\definitionswort {Orthogonalraum}{}
zu $F$.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei ein homogenes
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ gegeben, wobei wir die $i$-te Gleichung als Kernbedingung für die
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbeledisp {L_i} {K^n} {K
} { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \sum_{j = 1}^n a_{ij}x_j
} {,}
auffassen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \langle L_1 , \ldots , L_m \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der von diesen Linearformen im
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ K^n }^{ * }}{}
\definitionsverweis {erzeugte Untervektorraum}{}{.}
Dann ist $F^{ { \perp } }$ der Lösungsraum des Gleichungssystems.
}
Generell gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{ { \perp } }
}
{ =} { \bigcap_{f \in F} \operatorname{kern} f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle f \rangle ^{ { \perp } }
}
{ =} { \operatorname{kern} f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
${ V }^{ * }$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Zu Untervektorräumen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{U'
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ \supseteq} { U'^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zu Untervektorräumen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{F'
}
{ \subseteq }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{ { \perp } }
}
{ \supseteq} { F'^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( U^{ { \perp } } \right)^{ { \perp } }
}
{ =} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( F^{ { \perp } } \right)^{ { \perp } }
}
{ =} { F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U^{ { \perp } } \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) } - \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( F^{ { \perp } } \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) } - \dim_{ K } { \left( F \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq} { { \left( U^{ { \perp } } \right) } ^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist auch klar. Sei
\mathbed {v \in V} {}
{v \not\in U} {}
{} {} {} {.}
Dann kann man eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_r}{} von $U$ zu einer Basis
\mathl{u_1 , \ldots , u_r, v, v_1 , \ldots , v_\ell}{} von $V$ ergänzen. Die Linearform $v^*$ verschwindet auf $U$ und gehört daher zu $U^{ { \perp } }$. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v^*(v)
}
{ =} {1
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \notin }{ { \left( U^{ { \perp } } \right) } ^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ \subseteq} { \left( F^{ { \perp } } \right)^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt wieder direkt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ \left( F^{ { \perp } } \right)^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{ { \perp } }
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{f_1 , \ldots , f_m}{} ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $F$. Nach
Aufgabe 14.9
gilt, dass $f$ eine Linearkombination der $f_i$ ist, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
(4). Wir beweisen zuerst den zweiten Teil. Es sei
\mathl{f_1 , \ldots , f_r}{} eine Basis von $F$ und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {K^r
} {}
die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{ { \perp } }
}
{ =} { \operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn die Abbildung $\varphi$ nicht surjektiv wäre, so wäre
\mathl{\operatorname{bild} \varphi}{} ein echter Untervektorraum von $K^r$ und hätte maximal die Dimension
\mathl{r-1}{.} Es sei $W$ ein
\mathl{(r-1)}{-}dimensionaler Untervektorraum mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ \subseteq} { W
}
{ \subseteq} { K^r
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 14.6
gibt es eine von $0$ verschiedene
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbdisp {g} {K^r} {K
} {,}
deren Kern genau $W$ ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{ \sum_{i= 1}^r a_ip_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $p_i$ die $i$-te Projektion bezeichnet. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i= 1}^r a_if_i
}
{ =} { g \circ \varphi
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was der linearen Unabhängigkeit der $f_i$ widerspricht. Also ist $\varphi$ surjektiv ist und die Aussage folgt aus
Satz 11.5.
Der erste Teil folgt, indem man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ { \left( U^{ { \perp } } \right) } ^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verwendet und den zweiten Teil auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ U^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
anwendet.
{Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten die folgenden Aussagen.}
\faktfolgerung {
a) Es gibt
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathl{L_1 , \ldots , L_r}{} auf $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \bigcap_{i = 1}^r \operatorname{kern} L_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Kern einer linearen Abbildung auf $V$ in einen $K^r$.
c) Jeder Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Lösungsraum eines
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 15.9. }
\zwischenueberschrift{Die duale Abbildung}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} \mathkor {} {V} {und} {W} {} seien $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} sei eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann heißt die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi^*} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( W , K \right) } = { W }^{ * } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) } = { V }^{ * } } {f} {f \circ \varphi } {,} die \definitionswort {duale Abbildung}{} zu $\varphi$.
}
Diese Zuordnung beruht also einfach darauf, dass man die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {V \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} W \stackrel{f}{\longrightarrow} K} { }
betrachtet. Die duale Abbildung ist ein Spezialfall von der in
Lemma 13.8 (1)
beschriebenen Situation. Insbesondere ist die duale Abbildung wieder linear.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Funktorielle Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{U,V,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es seien
\maabbdisp {\psi} {U} {V
} {}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Für die
\definitionsverweis {duale Abbildung}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi \circ \psi \right) }^*
}
{ =} { \psi^* \circ \varphi^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für die Identität auf $V$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {
\operatorname{Id}_{ V } }^{ * }
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ { V }^{ * } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wenn $\psi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, so ist $\psi^*$
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
}{Wenn $\psi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist $\psi^*$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungvier{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ { W }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi \circ \psi \right) }^* (f)
}
{ =} { f \circ { \left( \varphi \circ \psi \right) }
}
{ =} { { \left( f \circ \varphi \right) } \circ \psi
}
{ =} { \varphi^*(f) \circ \psi
}
{ =} { \psi^*( \varphi^*(f) )
}
}
{}{}{.}
}{Dies folgt direkt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f \circ
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ = }{ f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi^*(f)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Surjektivität von $\psi$ gibt es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\psi (u)
}
{ = }{v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(v)
}
{ =} { f ( \psi (u))
}
{ =} { (\psi^*(f)) (u)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $f$ ist selbst die Nullabbildung. Nach
Lemma 11.4
ist $\psi^*$ injektiv.
}{Die Voraussetzung bedeutet, dass man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
auffassen kann. Man kann daher nach
Lemma 9.12
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { U \oplus U'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem weiteren $K$-Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U'
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Eine Linearform
\maabbdisp {g} {U} {K
} {}
lässt sich zu einer Linearform
\maabbdisp {\tilde{g}} {V} {K
} {}
fortsetzen, indem man beispielsweise $\tilde{g}$ auf $U'$ als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.
}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Nach endlichdimensional/Darstellung mit Linearformen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$, wobei $W$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
sei. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w_1 , \ldots , w_n
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} auf $V$ mit\zusatzfussnote {Die
\mathl{fw}{} sind im Sinne von
Bemerkung 14.5
zu verstehen} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { f_1w_1 +f_2w_2 + \cdots + f_nw_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{w_1 , \ldots , w_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $W$ und
\mathl{w_1^* , \ldots , w_n^*}{} die zugehörige
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_i
}
{ =} {\varphi^*(w_i^*)
}
{ =} { w_i^* \circ \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sum_{i =1 }^n f_i w_i \right) } (v)
}
{ =} { \sum_{i =1 }^n f_i (v) w_i
}
{ =} { \sum_{i =1 }^n { \left( w_i^* \circ \varphi \right) } (v) w_i
}
{ =} { \sum_{i =1 }^n w_i^* ( \varphi (v)) w_i
}
{ =} { \varphi(v)
}
}
{}
{}{,}
wobei die letzte Gleichung auf
Lemma 14.13
beruht.
\inputfaktbeweis
{Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{} bzw.
\mathl{w_1^* , \ldots , w_m^*}{} die zugehörigen
\definitionsverweis {Dualbasen}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich der gegebenen Basen durch die
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben werde.}
\faktfolgerung {Dann wird die
\definitionsverweis {duale Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi^*} { { W }^{ * } } { { V }^{ * }
} {}
bezüglich der Dualbasen von
\mathkor {} {{ W }^{ * }} {bzw.} {{ V }^{ * }} {}
durch die
\definitionsverweis {transponierte Matrix}{}{}
\mathl{{ { \left( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(\varphi) \right) } ^{ \text{tr} } }}{} beschrieben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Behauptung bedeutet die Gleichheit\zusatzfussnote {In $W$ gelten die Beziehungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_k)
}
{ = }{ \sum_{r = 1}^m a_{rk} w_r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dort steht der Laufindex also vorne; bei der behaupteten Gleichung steht der Laufindex hinten, was dem Transponieren entspricht} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^*(w_j^*)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{ji} v_i^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in ${ V }^{ * }$. Dies kann man auf der Basis
\mathbed {v_k} {}
{k=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
überprüfen. Es ist einerseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \varphi^* (w_j^*) \right) } (v_k)
}
{ =} { w_j^* { \left( \varphi (v_k) \right) }
}
{ =} { w_j^* { \left( \sum _{r = 1}^m a_{rk} w_r \right) }
}
{ =} { \sum _{r = 1}^m a_{rk} w_j^* (w_r )
}
{ =} { a_{j k}
}
}
{}
{}{}
und andererseits ebenso
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^n a_{ji} v_i^* \right) } (v_k)
}
{ =} { a_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Das Bidual}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Dann nennt man den
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
des Dualraums ${ V }^{ * }$, also
\mathdisp {{ ({ V }^{ * }) }^{ * }} { }
das \definitionswort {Bidual}{} von $V$.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Bidual/Natürliche Abbildung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche
\definitionsverweis {injektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\Psi} {V} { { ({ V }^{ * }) }^{ * }
} {v} { { \left( f \mapsto f(v) \right) }
} {.}
Wenn $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
ist, so ist $\Psi$ ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass
\mathl{\Psi(v)}{} eine Linearform auf dem Dualraum ${ V }^{ * }$ ist. Offenbar ist
\mathl{\Psi(v)}{} eine Abbildung von ${ V }^{ * }$ nach $K$. Die Additivität ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \Psi(v))(f_1+f_2)
}
{ =} { (f_1+f_2) (v)
}
{ =} { f_1(v) +f_2(v)
}
{ =} { ( \Psi(v))(f_1) + ( \Psi(v))(f_2)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \Psi(v))(s f )
}
{ =} { (s f ) (v)
}
{ =} { s ( f(v))
}
{ =} { s ( ( \Psi(v))(f) )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi (v+w)
}
{ =} { \Psi(v) + \Psi(w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in
\mathl{{ { \left( { V }^{ * } \right) } }^{ * }}{} ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig. Dann folgt die Additivität aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \Psi (v+w) )(f)
}
{ =} { f(v+w)
}
{ =} { f(v) +f(w)
}
{ =} { ( \Psi (v) )(f) + ( \Psi (w) )(f)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \Psi (s v) )(f)
}
{ =} { f(s v)
}
{ =} { s (f(v))
}
{ =} { s ( ( \Psi (v) )(f) )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Nachweis der Injektivität sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. D.h. für alle Linearformen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist aber nach
Lemma 14.7
schon
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nach
dem Injektivitätskriterium
ist $\Psi$ injektiv.
Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Korollar 13.12.
Die Abbildung $\Psi$ bildet also einen Vektor $v$ auf die \stichwort {Auswertung} {}
\zusatzklammer {oder \stichwort {Auswertungsabbildung} {}} {} {}
ab, die eine Linearform $f$ an der Stelle $v$ auswertet.