Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 15

Schon in jungen Jahren zeigte Vorli ihre soziale Ader, indem sie Kuscheltiere um sich versammelte.

Unterräume und Dualraum

Untervektorräume eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$ stehen in direkter Beziehung zu Untervektorräumen des Dualraumes ${}{V}^{*}$.

Definition

Zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}K$- Vektorraum nennt man

${}U^{\perp }={\left\{f\in {V}^{*}\mid f(u)=0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\subseteq {V}^{*}\,$

den Orthogonalraum zu ${}U$.

Diese Orthogonalräume sind Untervektorräume von ${}{V}^{*}$, siehe Aufgabe 15.4. Ob eine Linearform ${}f$ zu ${}U^{\perp }$ gehört, kann man auf einem Erzeugendensystem von ${}U$ überprüfen, siehe Aufgabe 15.5. Die Eigenschaft ${}f\in U^{\perp }$ ist äquivalent zu ${}U\subseteq \operatorname {kern} f$.  Im zweiten Semester, wenn wir Skalarprodukte zur Verfügung haben, wird es auch einen Orthogonalraum zu ${}U\subseteq V$ in ${}V$ selbst geben.

Beispiel

Wir betrachten den Untervektorraum

${}U=\langle {\begin{pmatrix}8\\6\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$

Der Orthogonalraum zu ${}U$ besteht aus allen Linearformen

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f{\begin{pmatrix}8\\6\\5\end{pmatrix}}=0$ und ${}f{\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}}=0$. Da eine Linearform bezüglich der Standardbasis durch eine Zeilenmatrix ${}\left(a,\,b,\,c\right)$ gegeben ist, geht es um die Lösungsmenge des Gleichungssystems

${}8a+6b+5c=0\,,$

${}4a+7b-3c=0\,.$

Der Lösungsraum ist

${}U^{\perp }={\left\{s\left({\frac {17}{4}},\,1,\,-8\right)\mid s\in K\right\}}\,.$

Beispiel

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit einer Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, und Dualbasis ${}v_{i}^{*}$, ${}i\in I$. Es sei

${}U=\langle v_{j},\,j\in J\rangle \,$

zu einer Teilmenge ${}J\subseteq I$. Dann ist

${}U^{\perp }=\langle v_{i}^{*},\,i\not \in J\rangle \,.$

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}F\subseteq {V}^{*}$ ein Untervektorraum im Dualraum ${}{V}^{*}$ zu ${}V$. Dann nennt man

${}F^{\perp }={\left\{v\in V\mid f(v)=0{\text{ für alle }}f\in F\right\}}\subseteq V\,$

den Orthogonalraum zu ${}F$.

Beispiel

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

über einem Körper ${}K$ gegeben, wobei wir die ${}i$-te Gleichung als Kernbedingung für die Linearform

$L_{i}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j},$

auffassen. Es sei

${}F=\langle L_{1},\ldots ,L_{m}\rangle \,$

der von diesen Linearformen im Dualraum ${}{K^{n}}^{*}$ erzeugte Untervektorraum. Dann ist ${}F^{\perp }$ der Lösungsraum des Gleichungssystems.

Generell gilt die Beziehung

${}F^{\perp }=\bigcap _{f\in F}\operatorname {kern} f\,.$

Insbesondere ist

${}\langle f\rangle ^{\perp }=\operatorname {kern} f\,.$

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit Dualraum ${}{V}^{*}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu Untervektorräumen ${}U\subseteq U'\subseteq V$ ist

   ${}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$

2. Zu Untervektorräumen ${}F\subseteq F'\subseteq {V}^{*}$ ist

   ${}F^{\perp }\supseteq F'^{\perp }\,.$

3. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\left(U^{\perp }\right)^{\perp }=U\,$

   und

   ${}\left(F^{\perp }\right)^{\perp }=F\,.$

4. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\dim _{K}{\left(U^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,$

   und

   ${}\dim _{K}{\left(F^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(F\right)}\,.$

Beweis

(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion

${}U\subseteq {\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }\,$

ist auch klar. Sei ${}v\in V$, ${}v\not \in U$. Dann kann man eine Basis ${}u_{1},\ldots ,u_{r}$ von ${}U$ zu einer Basis ${}u_{1},\ldots ,u_{r},v,v_{1},\ldots ,v_{\ell }$ von ${}V$ ergänzen. Die Linearform ${}v^{*}$ verschwindet auf ${}U$ und gehört daher zu ${}U^{\perp }$. Wegen

${}v^{*}(v)=1\neq 0\,$

ist ${}v\notin {\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }$.

Die Inklusion

${}F\subseteq \left(F^{\perp }\right)^{\perp }\,$

gilt wieder direkt. Es sei ${}f\in \left(F^{\perp }\right)^{\perp }$, also

${}F^{\perp }\subseteq \operatorname {kern} f\,.$

Es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein Erzeugendensystem von ${}F$. Nach Aufgabe 14.9 gilt, dass ${}f$ eine Linearkombination der ${}f_{i}$ ist, also ${}f\in F$.

(4). Wir beweisen zuerst den zweiten Teil. Es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{r}$ eine Basis von ${}F$ und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow K^{r}$

die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist

${}F^{\perp }=\operatorname {kern} \varphi \,.$

Wenn die Abbildung ${}\varphi$ nicht surjektiv wäre, so wäre ${}\operatorname {bild} \varphi$ ein echter Untervektorraum von ${}K^{r}$ und hätte maximal die Dimension ${}r-1$. Es sei ${}W$ ein ${}(r-1)$-dimensionaler Untervektorraum mit

${}\operatorname {bild} \varphi \subseteq W\subseteq K^{r}\,.$

Nach Lemma 14.6 gibt es eine von ${}0$ verschiedene Linearform

$g\colon K^{r}\longrightarrow K,$

deren Kern genau ${}W$ ist. Sei ${}g=\sum _{i=1}^{r}a_{i}p_{i}$, wobei ${}p_{i}$ die ${}i$-te Projektion bezeichnet. Dann ist

${}\sum _{i=1}^{r}a_{i}f_{i}=g\circ \varphi =0\,,$

was der linearen Unabhängigkeit der ${}f_{i}$ widerspricht. Also ist ${}\varphi$ surjektiv ist und die Aussage folgt aus Satz 11.5.

Der erste Teil folgt, indem man ${}U={\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }$ verwendet und den zweiten Teil auf ${}F=U^{\perp }$ anwendet.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann gelten die folgenden Aussagen.

a) Es gibt Linearformen ${}L_{1},\ldots ,L_{r}$ auf ${}V$ mit

${}U=\bigcap _{i=1}^{r}\operatorname {kern} L_{i}\,.$

b) ${}U\subseteq V$ ist der Kern einer linearen Abbildung auf ${}V$ in einen ${}K^{r}$.

c) Jeder Untervektorraum ${}U\subseteq K^{n}$ ist der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.9.

$\Box$

Die duale Abbildung

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,K\right)}={W}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}={V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

die duale Abbildung zu ${}\varphi$.

Diese Zuordnung beruht also einfach darauf, dass man die Hintereinanderschaltung

$V{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}W{\stackrel {f}{\longrightarrow }}K$

betrachtet. Die duale Abbildung ist ein Spezialfall von der in Lemma 13.8  (1) beschriebenen Situation. Insbesondere ist die duale Abbildung wieder linear.

Lemma

Es seien ${}U,V,W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ und es seien

$\psi \colon U\longrightarrow V$

und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für die duale Abbildung gilt

   ${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}^{*}=\psi ^{*}\circ \varphi ^{*}\,.$

2. Für die Identität auf ${}V$ ist

   ${}{\operatorname {Id} _{V}}^{*}=\operatorname {Id} _{{V}^{*}}\,.$

3. Wenn ${}\psi$ surjektiv ist, so ist ${}\psi ^{*}$ injektiv.
4. Wenn ${}\psi$ injektiv ist, so ist ${}\psi ^{*}$ surjektiv.

Beweis

1. Für ${}f\in {W}^{*}$ ist

   ${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}^{*}(f)=f\circ {\left(\varphi \circ \psi \right)}={\left(f\circ \varphi \right)}\circ \psi =\varphi ^{*}(f)\circ \psi =\psi ^{*}(\varphi ^{*}(f))\,.$

2. Dies folgt direkt aus ${}f\circ \operatorname {Id} _{V}=f$.
3. Es sei ${}f\in {V}^{*}$ und

   ${}\psi ^{*}(f)=0\,.$

   Wegen der Surjektivität von ${}\psi$ gibt es für jedes ${}v\in V$ ein ${}u\in U$ mit ${}\psi (u)=v$. Daher ist

   ${}f(v)=f(\psi (u))=(\psi ^{*}(f))(u)=0\,$

   und ${}f$ ist selbst die Nullabbildung. Nach Lemma 11.4 ist ${}\psi ^{*}$ injektiv.

4. Die Voraussetzung bedeutet, dass man ${}U\subseteq V$ als Untervektorraum auffassen kann. Man kann daher nach Lemma 9.12

   ${}V=U\oplus U'\,$

   mit einem weiteren ${}K$-Untervektorraum ${}U'\subseteq V$ schreiben. Eine Linearform

   $g\colon U\longrightarrow K$

   lässt sich zu einer Linearform

   ${\tilde {g}}\colon V\longrightarrow K$

   fortsetzen, indem man beispielsweise ${}{\tilde {g}}$ auf ${}U'$ als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$, wobei ${}W$ endlichdimensional sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

Dann gibt es Vektoren ${}w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$ und Linearformen ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ auf ${}V$ mit

${}\varphi =f_{1}w_{1}+f_{2}w_{2}+\cdots +f_{n}w_{n}\,.$

Beweis

Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Basis von ${}W$ und ${}w_{1}^{*},\ldots ,w_{n}^{*}$ die zugehörige Dualbasis. Wir setzen

${}f_{i}=\varphi ^{*}(w_{i}^{*})=w_{i}^{*}\circ \varphi \,.$

Dann ist für jeden Vektor ${}v\in V$

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}w_{i}\right)}(v)&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(v)w_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(w_{i}^{*}\circ \varphi \right)}(v)w_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{*}(\varphi (v))w_{i}\\&=\varphi (v),\end{aligned}}$

wobei die letzte Gleichung auf Lemma 14.13 beruht.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Es seien ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ bzw. ${}w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}$ die zugehörigen Dualbasen. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der gegebenen Basen durch die ${}m\times n$- Matrix

${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,$

beschrieben werde.

Dann wird die duale Abbildung

$\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

bezüglich der Dualbasen von ${}{W}^{*}$ bzw. ${}{V}^{*}$ durch die transponierte Matrix ${}{{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\right)}^{\text{tr}}}$ beschrieben.

Beweis

Die Behauptung bedeutet die Gleichheit

${}\varphi ^{*}(w_{j}^{*})=\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\,$

in ${}{V}^{*}$. Dies kann man auf der Basis ${}v_{k}$, ${}k=1,\ldots ,n$, überprüfen. Es ist einerseits

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi ^{*}(w_{j}^{*})\right)}(v_{k})&=w_{j}^{*}{\left(\varphi (v_{k})\right)}\\&=w_{j}^{*}{\left(\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{r}\right)}\\&=\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{j}^{*}(w_{r})\\&=a_{jk}\end{aligned}}$

und andererseits ebenso

${}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\right)}(v_{k})=a_{jk}\,.$

$\Box$

Das Bidual

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums ${}{V}^{*}$, also

${({V}^{*})}^{*}$

das Bidual von ${}V$.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum.

Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung

$\Psi \colon V\longrightarrow {({V}^{*})}^{*},\,v\longmapsto {\left(f\mapsto f(v)\right)}.$

Wenn ${}V$ endlichdimensional ist, so ist ${}\Psi$ ein Isomorphismus.

Beweis

Es sei ${}v\in V$ fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass ${}\Psi (v)$ eine Linearform auf dem Dualraum ${}{V}^{*}$ ist. Offenbar ist ${}\Psi (v)$ eine Abbildung von ${}{V}^{*}$ nach ${}K$. Die Additivität ergibt sich aus

${}(\Psi (v))(f_{1}+f_{2})=(f_{1}+f_{2})(v)=f_{1}(v)+f_{2}(v)=(\Psi (v))(f_{1})+(\Psi (v))(f_{2})\,,$

wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels

${}(\Psi (v))(sf)=(sf)(v)=s(f(v))=s((\Psi (v))(f))\,.$

Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien ${}v,w\in V$. Es ist die Gleichheit

${}\Psi (v+w)=\Psi (v)+\Psi (w)\,$

zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ${}{\left({V}^{*}\right)}^{*}$ ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei ${}f\in {V}^{*}$ beliebig. Dann folgt die Additivität aus

${}(\Psi (v+w))(f)=f(v+w)=f(v)+f(w)=(\Psi (v))(f)+(\Psi (w))(f)\,.$

Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus

${}(\Psi (sv))(f)=f(sv)=s(f(v))=s((\Psi (v))(f))\,.$

Zum Nachweis der Injektivität sei ${}v\in V$ mit ${}\Psi (v)=0$ gegeben. D.h. für alle Linearformen ${}f\in {V}^{*}$ ist ${}f(v)=0$. Dann ist aber nach Lemma 14.7 schon

${}v=0\,$

und nach dem Injektivitätskriterium ist ${}\Psi$ injektiv.

Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Korollar 13.12.

$\Box$

Die Abbildung ${}\Psi$ bildet also einen Vektor ${}v$ auf die Auswertung (oder Auswertungsabbildung) ab, die eine Linearform ${}f$ an der Stelle ${}v$ auswertet.

Fußnoten

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