Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 15
- Unterräume und Dualraum
Untervektorräume eines -Vektorraumes stehen in direkter Beziehung zu Untervektorräumen des Dualraumes .
Diese Orthogonalräume sind wieder Untervektorräume, siehe Aufgabe 15.4. Ob eine Linearform zu gehört, kann man auf einem Erzeugendensystem von überprüfen, siehe Aufgabe 15.5. Im zweiten Semester, wenn wir Skalarprodukte zur Verfügung haben, wird es auch einen Orthogonalraum zu in selbst geben.
Wir betrachten den Untervektorraum
Der Orthogonalraum zu besteht aus allen Linearformen
mit und . Da eine Linearform bezüglich der Standardbasis durch eine Zeilenmatrix gegeben ist, geht es um die Lösungsmenge des Gleichungssystems
Der Lösungsraum ist
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit einer Basis , , und Dualbasis , . Es sei
zu einer Teilmenge . Dann ist
Es sei ein - Vektorraum und ein Untervektorraum im Dualraum zu . Dann nennt man
den Orthogonalraum zu .
Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem
über einem Körper gegeben, wobei wir die -te Gleichung als Kernbedingung für die Linearform
auffassen. Es sei
der von diesen Linearformen im Dualraum erzeugte Untervektorraum. Dann ist der Lösungsraum des Gleichungssystems.
Generell gilt die Beziehung
Insbesondere ist
Es sei ein - Vektorraum mit Dualraum . Dann gelten folgende Aussagen.
- Zu Untervektorräumen
ist
- Zu Untervektorräumen
ist
- Es sei
endlichdimensional.
Dann ist
und
- Es sei
endlichdimensional.
Dann ist
und
(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion
ist auch klar. Sei , . Dann kann man eine Basis von zu einer Basis von ergänzen. Die Linearform verschwindet auf und gehört daher zu . Wegen
ist .
(4). Es sei eine Basis von und es sei
die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist
Wenn die Abbildung nicht surjektiv wäre, so wäre ein echter Untervektorraum von und hätte maximal die Dimension . Es sei ein -dimensionaler Untervektorraum mit
Nach Lemma 14.5 gibt es eine von verschiedene Linearform
deren Kern genau ist. Sei . Dann ist
was der linearen Unabhängigkeit der widerspricht. Also ist surjektiv ist und die Aussage folgt aus Satz 11.5.
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und ein Untervektorraum.
Dann gibt es Linearformen auf mit
Jeder Untervektorraum ist der Kern einer linearen Abbildung und jeder Untervektorraum des ist der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
Beweis
- Die duale Abbildung
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Dann heißt die Abbildung
die duale Abbildung zu .
Diese Zuordnung beruht also einfach darauf, dass man die Hintereinanderschaltung
betrachtet. Die duale Abbildung ist ein Spezialfall von der in Lemma 13.8 (1) beschriebenen Situation. Insbesondere ist die duale Abbildung wieder linear.
Es seien Vektorräume über einem Körper und es seien
und
lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für die
duale Abbildung
gilt
- Für die Identität auf ist
- Wenn surjektiv ist, so ist injektiv.
- Wenn injektiv ist, so ist surjektiv.
(1). Für ist
(2) folgt direkt aus .
(3). Es sei und
Wegen der Surjektivität von gibt es für jedes ein mit . Daher ist
und ist selbst die Nullabbildung. Nach Lemma 11.4 ist injektiv.
(4). Die Voraussetzung bedeutet, dass man als Untervektorraum auffassen kann. Man kann daher nach Lemma 9.12
mit einem weiteren -Untervektorraum schreiben. Eine Linearform
lässt sich zu einer Linearform
fortsetzen, indem man beispielsweise auf als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.
Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über , wobei endlichdimensional sei. Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann gibt es Vektoren und Linearformen auf mit[1]
Es sei eine Basis von und die zugehörige Dualbasis. Wir setzen
Dann ist für jeden Vektor
wobei die letzte Gleichung auf Lemma 14.12 beruht.
Es sei ein Körper und sei ein - dimensionaler - Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis . Es seien bzw. die zugehörigen Dualbasen. Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich der gegebenen Basen durch die - Matrix
beschrieben werde.
Dann wird die duale Abbildung
bezüglich der Dualbasen von bzw. durch die transponierte Matrix beschrieben.
Die Behauptung bedeutet die Gleichheit[2]
in . Dies kann man auf der Basis , , überprüfen. Es ist einerseits
und andererseits ebenso
- Das Bidual
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums , also
das Bidual von .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum.
Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung
Wenn endlichdimensional ist, so ist ein Isomorphismus.
Es sei fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass eine Linearform auf dem Dualraum ist. Offenbar ist eine Abbildung von nach . Die Additivität ergibt sich aus
wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels
Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien . Es ist die Gleichheit
zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei beliebig. Dann folgt die Additivität aus
Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus
Zum Nachweis der Injektivität sei mit gegeben. D.h. für alle Linearformen ist . Dann ist aber nach Lemma 14.6 schon
und nach dem Injektivitätskriterium ist injektiv.
Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Korollar 13.12.
Die Abbildung bildet also einen Vektor auf die Auswertung
(oder Auswertungsabbildung)
ab, die eine Linearform an der Stelle auswertet.
- Fußnoten
- ↑ Die sind im Sinne von Bemerkung 14.4 zu verstehen.
- ↑ In gelten die Beziehungen , dort steht der Laufindex also vorne; bei der behaupteten Gleichung steht der Laufindex hinten, was dem Transponieren entspricht.
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