Kurs:Maß- und Integrationstheorie/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	5	5	3	8	6	3	6	3	4	3	2	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Borelmenge in einem topologischen Raum ${}(X,{\mathcal {T}})$.
2. Das Produktmaß ${}\mu _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\mu _{n}$ zu ${}\sigma$- endlichen Maßräumen ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$.
3. Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion ${}f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ auf einem ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
4. Der Kegel zu einer Basismenge ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$.
5. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
6. Ein vollständiges Orthonormalsystem (oder eine Hilbertbasis) in einem ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Borel-Lebesgue-Maß auf ${}\mathbb {R}$.
2. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

   auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
3. Der Charakterisierungssatz für einen kompakten metrischen Raum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zu jeder rationalen Zahl ${}q\in \mathbb {Q}$ sei ein Intervall ${}[a_{q},b_{q}]$ derart gegeben, dass ${}q$ in dessen Innern liegt, also ${}q\in {]a_{q},b_{q}[}$. Ist

${}\bigcup _{q\in \mathbb {Q} }[a_{q},b_{q}]=\mathbb {R} \,?$

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass stetige Abbildungen Borel-messbar sind.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei abzählbare Mengen, die beide mit der ${}\sigma$- Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt ${}\mu$ bzw. ${}\nu$) versehen seien.

a) Zeige, dass ${}M$ und ${}N$ ${}\sigma$- endliche Maßräume sind.

b) Zeige, dass das Produktmaß ${}\mu \otimes \nu$ auf ${}M\times N$ ebenfalls das Zählmaß ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite ${}2{\rm {m}}$ und die Länge ${}10{\rm {m}}$, die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite ${}3{\rm {m}}$ und die Länge ${}12{\rm {m}}$, wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand ${}2{\rm {m}}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung ${}12.000{\rm {kg}}$. Der Tiefgang des Bootes soll maximal ${}1,5{\rm {m}}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\5\\-1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\7\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Aufgabe * (8 Punkte)

Zeige, dass das Borel-Lebesgue-Maß das einzige translationsinvariante Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist, das für den Einheitswürfel den Wert ${}1$ besitzt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}Z$ der Zylinder um die ${}x$-Achse und ${}W$ der Zylinder um die ${}z$-Achse, beide zum Radius ${}1$. Bestimme das Volumen des Durchschnitts ${}Z\cap W$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=rst+t\sin s\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Formel für das Fehlerintegral, also

${}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,,$

mit Hilfe von Polarkoordinaten.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x+y^{2},\,y+x^{3}+3x^{2}y^{2}+3xy^{4}+y^{6}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y\right)$.
2. Bestimme die Jacobi-Determinante von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y\right)$.
3. Bestimme den Flächeninhalt des Bildes der Einheitskreisscheibe unter ${}\varphi$. Verwende, dass ${}\varphi$ bijektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}X$ kompakt. Zeige, dass das Bild ${}\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ eines ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraumes ${}V$ genau dann ein Hilbertraum ist, wenn er abgeschlossen in ${}V$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für stetige Funktionen auf ${}]0,1[$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige

${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,$

mit Satz 23.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)).

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen auf ${}[0,2\pi ]$.

1. ${}\cos x$.
2. ${}\cos 2x$.
3. ${}\cos ^{2}x$.
4. ${}2\cos ^{2}x-1$.

Anhang

Die Bernoulli-Polynome besitzen auf dem Einheitsintervall die folgenden Darstellungen als Fourierreihen.

${}B_{2k}(t)=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\,$

im geraden Fall (${}k\geq 1$) und

${}B_{2k+1}(t)=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k+1}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k+1}}}\,$

im ungeraden Fall.