Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y)
}
{ =} { x^3-yx^2+7 \sin y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne die Integrale zum Parameter
\mathl{y \in [0,\pi]}{} über
\mathl{x \in [0,1]}{} und zum Parameter
\mathl{x \in [0,1]}{} über
\mathl{y \in [0,\pi ]}{.} Bestimme jeweils die extremalen Integrale.
}
{} {}
Mit
Aufgabe 10.19
ist jetzt die folgende Aufgabe einfach zu lösen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {{]0,1]}} {[0, \infty [
} {}
eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion
\maabbdisp {f^{-1}} {{[0, \infty[} } {{]0,1]}
} {.}
Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y}{} existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.
}
{} {}
Zur folgenden Aufgabe vergleiche
Aufgabe 12.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und
Beispiel 35.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} {{ \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\zusatzklammer {mit der von $\R$ induzierten Metrik} {} {}
und es seien
\zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {}
\maabbdisp {g, f_n} {M} {\R
} {}
\definitionsverweis {messbare Funktionen}{}{}
auf einem
$\sigma$-\definitionsverweis {endlichen}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{}
$M$. Wir betrachten die Funktion
\maabbdisp {f} {E \times M } {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f({ \frac{ 1 }{ n } },x)
}
{ =} { f_n(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0,x)
}
{ =} { g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diskutiere
den Satz von der majorisierten Konvergenz
und
Satz 11.1
in dieser Situation.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und
\mathbed {A_t} {}
{t \in \R} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von
\definitionsverweis {messbaren Mengen}{}{}
mit den zugehörigen Indikatorfunktionen
\mathl{e_{ A_t }}{.} Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {f} {\R \times M} { \R
} {(t,x)} {f(t,x) = e_{ A_t }(x)
} {.}
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R } {t} { \varphi(t) = \int_{ M } f(t,x) \, d \mu(x) } {,} nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 11.1 sind erfüllt, welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Satz 58.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), Satz 58.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Korollar 58.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) aus Satz 11.1, Satz 11.2 und Korollar 11.3.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere Satz 11.1, Satz 11.2 und Korollar 11.3 für die Situation, wo der Maßraum $M$ die natürlichen Zahlen $\N$ mit dem \definitionsverweis {Zählmaß}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \maabb {h} {[a,b]} {\R } {} und \maabb {g} {[c,d]} {\R } {} differenzierbare Funktionen. Bestätige Satz 11.2 für
a)
\mathl{f(x,y) =g(x) + h(y)}{,}
b)
\mathl{f(x,y) =g(x) \cdot h(y)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die dritte Bedingung in
Korollar 11.3
äquivalent zur Existenz von nichtnegativen, integrierbaren Funktionen
\maabbdisp {h_i} {M} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { { \frac{ \partial f }{ \partial z_i } } (z,x) } \Vert
}
{ \leq} { h_i(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
definiert durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{t^4+x^2t^2+1} dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Untersuchen Sie $f$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Falls $f$ differenzierbar ist, was ist die Ableitung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir interpretieren eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n \in \N} c_n z^n}{} als eine Funktion auf
\mathl{U { \left( 0,r \right) } \times \N}{,} wobei der offene Ball
\mathl{E= U { \left( 0,r \right) } \subseteq {\mathbb C}}{} mit der induzierten Metrik und $\N$ mit dem
\definitionsverweis {Zählmaß}{}{}
versehen sei. Welche Eigenschaften von
Satz 11.1
und von
\zusatzklammer {einer komplexen Version von} {} {}
Satz 11.2
sind
\zusatzklammer {in Abhängigkeit von $r$} {} {}
erfüllt? Wie kann man daraus
Korollar 16.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und
Satz 20.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
erhalten?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe die Additivität des Integrals mit Hilfe von Satz 11.5.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere den Wikipediaartikel \anfuehrung{Prinzip von Cavalieri}{,} insbesondere in Hinblick auf die Formulierung:
\anfuehrung{Aus dem Prinzip von Cavalieri lässt sich herleiten, dass das Volumen eines 'höhengedehnten' Körpers (bei gleichbleibender Grundfläche) proportional zu seiner Höhe ist. Als Beispiel: Ein Körper, dessen Höhe auf diese Weise verdoppelt wird, kann durch 2 gleiche Ausgangskörper konstruiert werden, indem zuerst alle äquivalenten Schnittflächen zusammengelegt werden und diese in der entsprechenden Reihenfolge des Ausgangskörpers aufgeschichtet werden (beide Ausgangskörper werden quasi ineinandergeschoben) }{.} \zusatzklammer {Version vom 16. November 2015} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks mit dem Cavalieri-Prinzip.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Die rechteckige Grundseite
\zusatzklammer {Unterseite} {} {}
eines Bootes
\zusatzklammer {unter Wasser} {} {}
habe die Breite $2{\rm m}$ und die Länge $10{\rm m}$, die
\zusatzklammer {ebenfalls rechteckige} {} {}
Deckseite
\zusatzklammer {Oberseite} {} {} habe die Breite $3{\rm m}$ und die Länge $12{\rm m}$, wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand $2{\rm m}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung
\mathl{12.000 {\rm kg}}{.} Der Tiefgang des Bootes soll maximal
$1,5{\rm m}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $Z$ der Zylinder um die $x$-Achse und $W$ der Zylinder um die $z$-Achse, beide zum Radius $1$. Bestimme das Volumen des Durchschnitts
\mathl{Z \cap W}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A } , \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und
\maabbdisp {h_1, h_2} {M} { \R_{\geq 0}
} {}
\definitionsverweis {messbare Funktionen}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_M h_1h_2 d \mu
}
{ =} { \int_{S(h_1)} h_2 d \mu \otimes \lambda^1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $h_2$ in natürlicher Weise als Funktion auf dem
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
\mathl{S(h_1)}{} zu $h_1$ aufgefasst wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^{n-1}
} {}
eine
\definitionsverweis {surjektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R^{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge
\mathl{T \cap \varphi^{-1} (x)}{}
\definitionsverweis {abzählbar}{}{}
sei. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lambda^n (T)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien \mathkor {} {[a,b]} {und} {[c,d]} {} \definitionsverweis {kompakte Intervalle}{}{} und es sei \maabbeledisp {f} { [a,b] \times [c,d]} {\R } {(x,y)} {f(x,y) } {,} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige mit Hilfe von Satz 11.1, dass auch die Funktion \maabbeledisp {} {[a,b]} {\R } {x} { \int_{ c }^{ d } f(x,y) \, d y } {,} stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
\mathl{\operatorname{Fak} \, (x)}{} beliebig oft
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist mit den Ableitungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } ( \ln t)^n t^x e^{-t} \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne das Volumen des
\definitionsverweis {Kegels}{}{,} dessen Spitze in
\mathl{(2,3,5)}{} liegt und dessen Grundfläche die durch
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 3x^2+2y^2 \leq 4 \right\} }} { }
gegebene Ellipse ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu
}
{ = }{ \varphi_*\lambda^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
unter der Multiplikation
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {xy
} {.}
Zeige, dass für jede
\definitionsverweis {Borelmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu (T)
}
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } \lambda^1(T) = 0 \, , \\ \infty, \text{ falls } \lambda^1(T) > 0 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom in $n$ Variablen über $\R$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ x \in \R^n \mid F(x) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Nullstellenmenge des Polynoms. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(T)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}