Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 5/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten die beiden Rechtecke
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass das durch die drei Punkte und gegebene abgeschlossene Dreieck nicht zum Produktpräring von und gehört.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und Messräume und es sei das in konzentrierte Dirac-Maß auf und das in konzentrierte Dirac-Maß auf . Zeige, dass das in konzentrierte Dirac-Maß auf ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es seien und zwei abzählbare Mengen, die beide mit der - Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt bzw. ) versehen seien.
a) Zeige, dass und - endliche Maßräume sind.
b) Zeige, dass das Produktmaß auf ebenfalls das Zählmaß ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und Messräume und es sei das zur Belegungsfunktion
gehörige Maß auf und das zur Belegungsfunktion
gehörige Maß auf (diese Maße seien als - endlich angenommen). Zeige, dass das zur Belegungsfunktion
gehörige Maß auf ist.
Aufgabe Aufgabe 5.6 ändern
Es seien und zwei - endliche Maßräume, es seien und zwei Messräume und es seien
und
zwei messbare Abbildungen, unter denen die Bildmaße und -endlich seien. Zeige, dass für das Bildmaß unter der Produktabbildung die Gleichung
gilt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es seien und endliche Maßräume und ihr Produktmaßraum. Zeige, dass das Bildmaß von unter der Projektion
gleich (dem umskalierten Maß) ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für endliche Maßräume und einem Maß auf , das nicht das Produktmaß ist, das aber
und
für alle messbaren Teilmengen und erfüllt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
(mit und ) überdecken lässt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man schreibe eine Animation, die die Unabhängigkeit des Maßes von der Quaderzerlegung im Beweis zu Lemma 5.3 (1) am Beispiel des deutlich macht. Insbesondere soll die Einführung eines Rasters und der Begriff der Verfeinerung sichtbar werden.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man erläutere Lemma 5.3 (2) anhand des Bildes.
Durch eine Kombination von Produktmaß und Bildmaß kann man die sogenannte Faltung von Maßen definieren.
Zum - endlichen Maßen und auf dem nennt man das Bildmaß des Produktmaßes unter der Addition
die Faltung der beiden Maße. Sie wird mit bezeichnet.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Dirac-Maß das neutrale Element für die Faltungsverknüpfung ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Faltung von Dirac-Maßen zu Punkten .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die offene Einheitskreisscheibe nicht zum Produktpräring von und gehört.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei die Vereinigung der drei Quader
im . Bestimme
für jedes und
für jedes (dabei ist einfach die Summe der Länge der disjunkten Intervalle, aus denen sich zusammensetzt).
Einen Maßraum mit dem Gesamtmaß nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum. Für die Wahrscheinlichkeitstheorie ist das folgende Konzept enorm wichtig.
Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum. Man nennt zwei - Algebren unabhängig, wenn für jedes und jedes die Gleichheit
gilt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und zwei Wahrscheinlichkeitsräume und ihr Produktraum. Zeige, dass die „Zylinderalgebren“
unabhängig sind.