Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Fourierreihen}
Unter den periodischen Funktionen spielen die trigonometrischen Funktionen
\mathkor {} {\cos x} {und} {\sin x} {}
bzw. die komplexe Exponentialfunktion $e^{ { \mathrm i} z}$ eine besondere Rolle, die die Periode $2 \pi$ haben. Neben diesen enthält man weitere periodische Funktionen, indem man das Argument $x$ bzw. $z$ durch ganzzahlige Vielfache $nx$ bzw. $nz$ ersetzt. Diese haben die kleineren Perioden ${ \frac{ 2 \pi }{ n } }$, aber $2 \pi$ bleibt eine Periode. Im Rahmen der Fourieranalysis
\zusatzklammer {man spricht auch von harmonischer Analysis} {} {}
möchte man periodische Funktionen als Reihen von trigonometrischen Funktionen darstellen. Eine periodische Funktion mit Periode $T$ ist vollständig bestimmt durch ihren Verlauf auf dem Intervall
\mathl{[0, T [}{.} Wir arbeiten im Kontext von Hilberträumen und insbesondere in
\mathl{L^2([0, T ] )}{,} der Übergang vom halboffenen zum abgeschlossen Intervall ist für diesen Funktionenraum unerheblich. Besonders wichtig sind die Periodenlängen $1$ und $2 \pi$, wir werden zumeist eine beliebige Periodenlänge $T$ zulassen und dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ { \frac{ 2 \pi }{ T } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen.
Die Funktionen $e^{ { \frac{ 2 \pi }{ T } } { \mathrm i} n t}$ sind auf
\mathl{[0, T]}{}
\definitionsverweis {quadratintegrierbar}{}{,}
wie sofort aus der Beschränktheit folgt. Daher sichert
Lemma 21.3,
dass die folgenden Definitionen sinnvoll sind. Insbesondere kann man sie auf messbare beschränkte periodische Funktionen und auf stückweise stetige Funktionen auf
\mathl{[0, T]}{} anwenden.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {f} {\R} { {\mathbb C}
} {}
eine auf $[0, T]$
\definitionsverweis {quadratintegrierbare}{}{}
$T$-\definitionsverweis {periodische Funktion}{}{.}
Dann nennt man
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ T } } \int_0^T f(t) e^{- { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ T } } nt} dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den $n$-ten
\zusatzklammer {komplexen} {} {}
\definitionswort {Fourierkoeffizienten}{.}
}
Bis auf den Vorfaktor ist dieser Koeffizient gleich dem
$L^2$-\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle f , e^{ { \frac{ 2 \pi }{ T } } n t } \right\rangle
}
{ = }{ \int_0^T f (t) e^{ - { \frac{ 2 \pi }{ T } } n t }dt
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {f} {\R} { {\mathbb C}
} {}
eine auf $[0, T]$
\definitionsverweis {quadratintegrierbare}{}{}
$T$-\definitionsverweis {periodische Funktion}{}{.}
Dann nennt man
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die $b$-Koeffizienten} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ T } } \int_0^T f(t) \cos \left( { \frac{ 2 \pi }{ T } } nt \right) dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ T } } \int_0^T f(t) \sin \left( { \frac{ 2 \pi }{ T } } nt \right) dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die $n$-ten
\zusatzklammer {reellen} {} {}
\definitionswort {Fourierkoeffizienten}{.}
}
Nur wenn $f$ reellwertig ist sind die Koeffizienten \mathkor {} {a_n} {bzw.} {b_n} {} reell, die Koeffizienten $c_n$ sind auch in diesem Fall nicht reell.
\inputfaktbeweis
{Periodische Funktion/Fourierkoeffizienten/Komplex und reell/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {f} {\R} { {\mathbb C}
} {}
eine auf $[0, T]$
\definitionsverweis {quadratintegrierbare}{}{}
$T$-\definitionsverweis {periodische Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen den
\definitionsverweis {reellen}{}{}
und den
\definitionsverweis {komplexen Fourierkoeffizienten}{}{}
von $f$ die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ =} { { \frac{ a_0 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( a_n- { \mathrm i}b_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{-n}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( a_n + { \mathrm i}b_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_0
}
{ =} { 2c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { c_n +c_{-n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n
}
{ =} { { \mathrm i} { \left( c_n-c_{-n} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Unter Verwendung von
Satz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (1)
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ c_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ T } } \int_0^T f(t) e^{- { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ T } } nt} dt
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ T } } \int_0^T f(t) { \left( \cos \left( - { \frac{ 2 \pi }{ T } } nt \right) + { \mathrm i} \sin \left( - { \frac{ 2 \pi }{ T } } nt \right) \right) } dt
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ T } } \int_0^T f(t) \cos \left( - { \frac{ 2 \pi }{ T } } nt \right) dt + { \frac{ { \mathrm i} }{ T } } \int_0^T f(t) \sin \left( - { \frac{ 2 \pi }{ T } } nt \right) dt
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ T } } \int_0^T f(t) \cos \left( { \frac{ 2 \pi }{ T } } nt \right) dt - { \frac{ { \mathrm i} }{ T } } \int_0^T f(t) \sin \left( { \frac{ 2 \pi }{ T } } nt \right) dt
}
}
{}
{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 2 } } a_n + { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i}b_n}{,} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss man zum Negativen übergehen und noch einmal
Satz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (3)
verwenden.
\inputfaktbeweis
{Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ { \frac{ 2 \pi }{ T } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann bildet die Familie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } } } e^{\omega { \mathrm i} n x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{}
im Hilbertraum
\mathl{L^2([0, T] , {\mathbb C})}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle f_m , f_n \right\rangle
}
{ =} { \int_0^T f_m \overline{ f_n } dx
}
{ =} { \int_0^T { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } } } e^{ \omega { \mathrm i} m x } { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } } } \overline{ e^{\omega { \mathrm i} n x } } dx
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ T } } \int_0^T e^{ \omega { \mathrm i} m x } e^{- \omega { \mathrm i} n x } dx
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ T } } \int_0^T e^{ \omega { \mathrm i} (m-n) x } dx
}
}
{}
{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ T } } \int_0^T e^{0 } dx
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ T } } \int_0^T 1 dx
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \neq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 1 }{ T } } \int_0^T e^{ \omega { \mathrm i} (m-n) x } dx
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ T \omega { \mathrm i} (m-n) } } { \left( e^{ \omega { \mathrm i} (m-n) x } \right) } {{|}}_0^T
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} (m-n) } } { \left( e^{ T \omega { \mathrm i} (m-n) } - e^0 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} (m-n) } } { \left( e^{ 2 \pi { \mathrm i} (m-n) } - e^0 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} (m-n) } } { \left( 1-1 \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Trennende Algebra/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ { \frac{ 2 \pi }{ T } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besteht die von den
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } } } e^{\omega { \mathrm i} n x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {erzeugte}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
aus allen endlichen Summen
\mathl{\sum_{n } r_n f_n}{.}}
\faktzusatz {Diese Algebra enthält mit jeder Funktion auch ihre
\definitionsverweis {komplex-konjugierte}{}{}
Funktion und
\definitionsverweis {trennt}{}{}
die Punkte aus
\mathl{[0, T [}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_m f_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } } } e^{\omega { \mathrm i} m x} \cdot { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } } } e^{\omega { \mathrm i} n x}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ T } } e^{\omega { \mathrm i} (m +n) x}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Familie
\zusatzklammer {bis auf den skalaren Vorfaktor} {} {}
unter Multiplikation abgeschlossen. Daher sind die endlichen Linearkombinationen der $f_n$ auch multiplikativ abgeschlossen und bilden eine ${\mathbb C}$-Algebra, der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sichert, dass auch die Konstanten dazu gehören. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ f_n }
}
{ =} { f_{-n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Algebra auch unter komplexer Konjugation abgeschlossen. Die Trennung ist allein schon durch die Funktion
$e^{ { \mathrm i} \omega x }$ gesichert.
Ausdrücke der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n } r_n f_n
}
{ =} { \sum_{n } { \frac{ r_n }{ \sqrt{ T } } } e^{\omega { \mathrm i} n z}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einer endlichem Indexmenge nennt man auch \stichwort {trigonometrische Polynome} {.} Zumeist schreibt man sie als
\mathl{\sum_{n = -N }^N { \frac{ r_n }{ \sqrt{ T } } } e^{\omega { \mathrm i} n z}}{.}
\inputfaktbeweis
{Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Vollständiges Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ { \frac{ 2 \pi }{ T } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann bildet die Familie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } } } e^{\omega { \mathrm i} n x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {vollständiges Orthonormalsystem}{}{}
im Hilbertraum
\mathl{L^2([0, T] , {\mathbb C})}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Orthonormalitätsrelationen wurden in
Lemma 23.4
gezeigt. Nach
Lemma 23.5
ist die von den $e^{ \omega { \mathrm i} n x }$ erzeugte Algebra punktetrennend und stimmt mit dem erzeugten Vektorraum überein. Nach
dem komplexen Satz von Stone-Weierstrass
gibt es zu jeder stetigen Funktion
\maabbdisp {h} { [0, T ]} { {\mathbb C}
} {}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein trigonometrisches Polynom $p$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { h(x)-p(x) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $x$. Die entsprechende Approximationseigenschaft gilt dann auch in der $L^2$-Norm. Die beschriebene Algebra ist also dicht in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C( [0, T ], {\mathbb C} )
}
{ \subseteq }{ L^2 ( [0, T ], {\mathbb C} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Korollar 20.10
ist die Algebra dann auch dicht in
\mathl{L^2 ( [0, T ], {\mathbb C} )}{.}
Aus
Satz 23.6
folgt mit
Satz 22.10,
dass jede quadratintegrierbare Funktion
\maabbdisp {f} {[0, T]} { {\mathbb C}
} {}
eine konvergente Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { \sum_{n \in \Z} \left\langle f_n , { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } } } e^{ \omega { \mathrm i} n t } \right\rangle { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } }} e^{ \omega { \mathrm i} n t }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt, die Konvergenz ist dabei im Sinne der $L^2$-Norm zu verstehen. Im Allgemeinen liegt keine punktweise Konvergenz vor. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \left\langle f_n , { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } } } e^{ \omega { \mathrm i} n t } \right\rangle
}
{ =} { \int_0^{ T } f (t) { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } } } e^{ -\omega { \mathrm i} n t } dt
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ T } } } \int_0^{ T } f (t) e^{ - \omega{ \mathrm i} n t } dt
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { \sum_{n \in \Z} { \frac{ 1 }{ T } } { \left( \int_0^{ T } f (t) e^{ -\omega { \mathrm i} n t } dt \right) } e^{ \omega { \mathrm i} n t }
}
{ =} { \sum_{n \in \Z} c_n e^{ \omega { \mathrm i} n t }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den
\definitionsverweis {komplexen Fourierkoeffizienten}{}{}
$c_n$. Diese beziehen sich also nicht unmittelbar auf das Orthonormalsystem, sondern auf eine skalierte Version davon. Die Darstellung
\mathl{\sum_{n \in \Z} c_n e^{ { \mathrm i} n \omega t }}{} nennt man die \stichwort {Fourierreihe} {} zu $f$, auch wenn über $\Z$ aufsummiert wird. Man spricht auch von der \stichwort {Fourierentwicklung} {.} Die Umformung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{n \in \Z} c_n e^{\omega { \mathrm i} n t }
}
{ =} { c_0 + \sum_{n \in \N_+} { \left( c_n e^{\omega { \mathrm i} n t } +c_{-n} e^{ - \omega { \mathrm i} n t } \right) }
}
{ =} { c_0 + \sum_{n \in \N_+} { \left( c_n { \left( \cos \omega n t + { \mathrm i} \sin \omega n t \right) } +c_{-n} { \left( \cos \omega n t - { \mathrm i} \sin \omega n t \right) } \right) }
}
{ =} { c_0 + \sum_{n \in \N_+} { \left( { \left( c_n +c_{-n} \right) } \cos \omega n t + { \mathrm i} { \left( c_n -c_{-n} \right) } \sin \omega n t \right) }
}
{ =} { { \frac{ a_0 }{ 2 } } + \sum_{n \in \N_+} a_n \cos \omega n t + b_n \sin \omega n t
}
}
{}
{}{}
unter Verwendung von
Lemma 23.3
ergibt die Darstellung mit den reellen Koeffizienten.
\inputfaktbeweis
{Stetige Funktion/Stückweise stetig differenzierbar/Fourierentwicklung/Gleichmäßige Konvergenz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {\R } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {periodische}{}{}
\definitionsverweis {stetige}{}{}
und stückweise
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Funktion.}
\faktfolgerung {Dann konvergiert die
\definitionsverweis {Fourierreihe}{}{}
von $f$
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
und insbesondere
\definitionsverweis {punktweise}{}{}
gegen $f$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $2 \pi$ die Periodenlänge. Die stückweise existierende
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $f$ ist stückweise stetig und ebenfalls periodisch, daher gibt es eine Fourierentwicklung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'
}
{ =} { \sum_{ n \in \Z} d_n e^{ { \mathrm i} n t }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ d_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } \int_0^{2 \pi} f'(t) e^{- { \mathrm i} t n} dt
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } { \left( f(t) e^{- { \mathrm i} t n} | _{ 0 } ^{ 2 \pi } + { \mathrm i} n\int_0^{2 \pi} f(t) e^{- { \mathrm i} t n} \right) }
}
{ =} { { \mathrm i} n c_n
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ n \neq 0} \betrag { c_n }
}
{ =} { \sum_{ n \neq 0} { \frac{ \betrag { d_n } }{ \betrag { n } } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \sum_{ n \neq 0} { \left( \betrag { d_n }^2+ { \frac{ 1 }{ n^2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Abschätzung rechts summandenweise auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \betrag { d_n } - { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^2
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beruht. Nach
der Besselschen Abschätzung
sind die Betragsquadrate $\betrag { d_n }^2$
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
und nach
Beispiel 9.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
sind die Quadrate der Stammbrüche summierbar und somit sind die Beträge der Fourierkoeffizienten zu $f$ summierbar. Da die Beträge der Exponentialfunktionen $e^{ { \mathrm i} nt }$ auf
\mathl{[0, 2 \pi]}{} durch $1$ beschränkt sind, ergibt sich die gleichmäßige Konvergenz aus
Satz 16.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Auch wenn $f$ nur stückweise stetig und stückweise stetig differenzierbar ist, liegt auf jedem Teilintervall ohne Sprungstellen gleichmäßige Konvergenz vor.
\zwischenueberschrift{Bernoulli-Polynome}
Jedes Polynom kann man auf
\mathl{[0,1[}{} einschränken und dann $1$-periodisch fortsetzen. Wir wollen verstehen, wie die zugehörigen Fourierreihen aussehen. Die Bernoulli-Polynome
\mathbed {B_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
bilden eine Familie von normierten Polynomen vom Grad $n$ mit vergleichsweise übersichtlichen Fourierreihen. Aus diesen kann man die Fourierreihe zu jedem Polynom linear berechnen.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Bernoulli polynomials.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Bernoulli polynomials.svg } {} {Linas} {en. Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Die
\definitionswort {Bernoulli-Polynome}{}
$B_n$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind Polynome vom Grad $n$, die rekursiv definiert werden: $B_0$ ist das konstante Polynom mit dem Wert $1$ und Polynom $B_{n+1}$ ist durch die beiden Bedingungen festgelegt: $B_{n+1}$ ist eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathl{(n+1)B_n}{} und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 B_{n+1}(x) dx
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Die ersten Bernoulli-Polynome lauten.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_0 (t)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_1(t)
}
{ =} { t- { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_2(t)
}
{ =} { t^2 -t +{ \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_3(t)
}
{ =} { t^3 -{ \frac{ 3 }{ 2 } } t^2+ { \frac{ 1 }{ 2 } } t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_4(t)
}
{ =} {t^4 -2t^3 +t^2 - { \frac{ 1 }{ 30 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_5(t)
}
{ =} { t^5 - { \frac{ 5 }{ 2 } } t^4 + { \frac{ 5 }{ 3 } } t^3 - { \frac{ 1 }{ 6 } } t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_6(t)
}
{ =} { t^6 -3t^5 +{ \frac{ 5 }{ 2 } } t^4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 - { \frac{ 1 }{ 42 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sawtooth Fourier Animation.gif} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Sawtooth Fourier Animation.gif } {} {4dhayman} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Sägezahnfunktion/Identität auf Einheitsintervall/Fourierreihe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Die Identität auf dem Einheitsintervall
\zusatzklammer {die \stichwort {Sägezahnfunktion} {}} {} {}}
\faktfolgerung {besitzt die
\definitionsverweis {Fourierreihe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ \pi } } \cdot \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ \sin \left( 2 \pi n t \right) }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Mit partieller Integration ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ c_n
}
{ =} { \int_0^1 t e^{- 2 \pi { \mathrm i} n t} dt
}
{ =} { { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 \pi n } } t e^{- 2 \pi { \mathrm i} n t} | _{ 0 } ^{ 1 } - \int_0^1 { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 \pi n } } e^{- 2 \pi { \mathrm i} n t} dt
}
{ =} { { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 \pi n } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
da der hintere Integrand eine periodische Stammfunktion besitzt. Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist gemäß
Lemma 23.3
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ = }{ c_n +c_{-n}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n
}
{ =} { { \mathrm i} { \left( c_n-c_{-n} \right) }
}
{ =} { { \mathrm i} { \left( { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 \pi n } } -{ \frac{ { \mathrm i} }{ 2 \pi (-n) } } \right) }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \pi n } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Fourierreihe ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } + \sum_{n \neq 0} { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 \pi n } } e^{ 2 \pi { \mathrm i} n t}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ \pi } } \cdot \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ \sin \left( 2 \pi n t \right) }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Bernoulli-Polynome/Fourierreihe/Explizit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Bernoulli-Polynome}{}{}
besitzen auf dem Einheitsintervall die folgenden Darstellungen als
\definitionsverweis {Fourierreihen}{}{.}}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_{2k}(t)
}
{ =} { 2 \cdot (-1)^{k-1} { \frac{ (2k)! }{ (2 \pi)^{2k } }} \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ \cos \left( 2 \pi n t \right) }{ n^{2k } }}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im geraden Fall
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ k
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_{2k+1}(t)
}
{ =} { 2 \cdot (-1)^{k-1} { \frac{ (2k+1)! }{ (2 \pi)^{2k+1 } }} \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ \sin \left( 2 \pi n t \right) }{ n^{2k+1 } }}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im ungeraden Fall.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mathkor {} {F_{2k}} {bzw.} {F_{2k+1}} {}
die rechten Seiten der Gleichung. Wir zeigen, dass diese die gleichen Rekursionen wie die Bernoulli-Polynome erfüllen und daher mit diesen übereinstimmen müssen. Zunächst ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_1(t)
}
{ =} { 2 \cdot (-1) { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ \sin \left( 2 \pi n t \right) }{ n } }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \pi } } \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ \sin \left( 2 \pi n t \right) }{ n } }
}
{ =} { t - { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { B_1(t)
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 23.9.
Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ F_{2k}'
}
{ =} { 2 \cdot (-1)^{k-1} { \frac{ (2k)! }{ (2 \pi)^{2k } }} { \left( \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ \cos \left( 2 \pi n t \right) }{ n^{2k } }} \right) }'
}
{ =} { 2 \cdot (-1)^{k} { \frac{ (2k-1)! }{ (2 \pi)^{2k-1 } }} \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ \sin \left( 2 \pi n t \right) }{ n^{2k-1 } }}
}
{ =} { (2k) F_{2k-1}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
und
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ F_{2k+1}'
}
{ =} { 2 \cdot (-1)^{k-1} { \frac{ (2k+1)! }{ (2 \pi)^{2k+1 } }} { \left( \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ \sin \left( 2 \pi n t \right) }{ n^{2k+1 } }} \right) }'
}
{ =} { 2 \cdot (-1)^{k-1} { \frac{ (2k+1)! }{ (2 \pi)^{2k } }} \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ \cos \left( 2 \pi n t \right) }{ n^{2k } }}
}
{ =} { (2k+1) F_{2k}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_{2k} (0)
}
{ = }{ F_{2k} (1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_{2k+1} (0)
}
{ = }{ F_{2k+1} (1)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
woraus die Normierungseigenschaft über das Integral folgt.
\inputfaktbeweis
{Stammbruchquadrat/Summe/Bernoulli-Polynome/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ =} { { \frac{ \pi^2 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Satz 23.10
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besagt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_2(t)
}
{ =} { t^2-t+ { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \pi^2 } } \cdot \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ \cos \left( 2 \pi n t \right) }{ n^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei Konvergenz im Sinne der $L^2$-Norm vorliegt. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_2(0)
}
{ =} { B_2(1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann man
Satz 23.7
anwenden, die Konvergenz liegt also auch punktweise vor. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \pi^2 } } \cdot \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ =} { { \frac{ \pi^2 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}