Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 5

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die auf $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ in Beispiel 5.2 eingeführte Relation

$(a,b)\sim (c,d),\text{ falls }a+d=b+c,$

eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Zeige, dass die auf $\mathbb{Z}$ in Beispiel 5.2 eingeführte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind.

Aufgabe

Definiere auf der in Beispiel 5.2 eingeführten Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ eine totale Ordnung, die die Ordnung auf den natürlichen Zahlen fortsetzt.

In der folgenden Aufgabe wird eine alternative Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen beschrieben.

Aufgabe

Es sei $\mathbb{N}$ die Menge der natürlichen Zahlen und ${\mathbb{N}}_{+}$ die Menge der positiven natürlichen Zahlen. Wir betrachten die zweielementige Menge

$V=\{+,-\}$

und die Menge

$Z=(V\times {\mathbb{N}}_{+})\cup \{0\}.$

Wir wollen $Z$ zu einem Modell für die ganzen Zahlen machen. Als abkürzende Schreibweise verwenden wir $n$ für das Paar $(+,n)$ und $-n$ für das Paar $(-,n)$. Man definiere eine Verknüpfung

$\oplus$ auf $Z$, die für $n,m\in {\mathbb{N}}_{+}$ die Eigenschaft

$n\oplus m=n+m$

erfüllt und die $Z$ zu einer

kommutativen Gruppe mit neutralem Element $0$ macht.

Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}⟶\mathbb{Z},(a,b)⟼a-b.$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 5.7 auf $\mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}_{+}$ eingeführte Relation

$(a,b)\sim (c,d),\text{ falls }ad=bc,$

eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es seien $x,y,z,w$ Elemente in einem Körper, wobei $z$ und $w$ nicht $0$ seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

1. $\frac{x}{1}=x,$

2. $\frac{1}{z}=z^{-1},$

3. $\frac{1}{-1}=-1,$

4. $\frac{0}{z}=0,$

5. $\frac{z}{z}=1,$

6. $\frac{x}{z}=\frac{xw}{zw},$

7. $\frac{x}{z}\cdot \frac{y}{w}=\frac{xy}{zw},$

8. $\frac{x}{z}+\frac{y}{w}=\frac{xw+yz}{zw}.$

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition und die Multiplikation vertauscht und die Division durch die Subtraktion ersetzt, also

$(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)?$

Zeige, dass die „beliebte Formel“

$\frac{x}{z}+\frac{y}{w}=\frac{x+y}{z+w}$

nicht gilt.

Aufgabe

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

$\{G,U\}$

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.

Aufgabe *

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})$

erfüllen.

Aufgabe

Beweise die Formel

$2^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).$

Rechne dies explizit für $n\le 6$ nach.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $I$ eine Menge und $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$\star :M\times M⟶M,(x,y)⟼x\star y.$

Definiere auf der Abbildungsmenge

$\mathrm{Abb}(I,M)=\{F:I\to M\mid F\text{ Abbildung}\}$

eine Verknüpfung unter Bezug auf die vorgegebene Verknüpfung. Übertragen sich die Eigenschaften Assoziativität, Kommutativität, Existenz eines neutralen Elementes, Existenz von inversen Elementen?

In der folgenden Aufgabe darf man Gesetzmäßigkeiten auf $\mathbb{N}$ verwenden.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ mit der in Beispiel 5.2 eingeführten Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $M$ eine Menge, $s\in M$ ein Element und

$F:M⟶M$

eine

bijektive Abbildung. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

$\phi :\mathbb{Z}⟶M,k⟼\phi (k),$

gibt, die die Eigenschaften

$\phi (0)=s\text{ und }\phi (k+1)=F(\phi (k))\text{ für alle }k\in \mathbb{Z}$

erfüllt.

In den beiden folgenden Aufgaben darf man verwenden, dass die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ einen kommutativen Ring bilden.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die in Fakt ***** definierten Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ auf $\mathbb{Q}$ wohldefiniert sind.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die in Fakt ***** eingeführte Quotientenmenge $\mathbb{Q}$ mit den dort eingeführten Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und den Elementen $0$ und $1$ ein Körper ist.

In der folgenden Aufgabe darf man verwenden, dass $\mathbb{Q}$ ein Körper ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Menge

$K=\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}=\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$

mit den beiden ausgezeichneten Elementen

$0=(0,0)\text{ und }1=(1,0),$

der Addition

$(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)$

und der Multiplikation

$(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc).$

Zeige, dass $K$ mit diesen Operationen ein Körper ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel

$n{2}^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).$