Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 5

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die auf in Beispiel 5.2 eingeführte Relation

eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Zeige, dass die auf in Beispiel 5.2 eingeführte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind.


Aufgabe

Definiere auf der in Beispiel 5.2 eingeführten Menge der ganzen Zahlen eine totale Ordnung, die die Ordnung auf den natürlichen Zahlen fortsetzt.


In der folgenden Aufgabe wird eine alternative Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen beschrieben.

Aufgabe

Es sei die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der positiven natürlichen Zahlen. Wir betrachten die zweielementige Menge

und die Menge

Wir wollen zu einem Modell für die ganzen Zahlen machen. Als abkürzende Schreibweise verwenden wir für das Paar und für das Paar . Man definiere eine Verknüpfung

auf , die für die Eigenschaft
erfüllt und die zu einer

kommutativen Gruppe mit neutralem Element macht.


Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?


Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel ***** auf eingeführte Relation

eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Es seien Elemente in einem Körper, wobei und nicht null seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

Zeige, dass die „beliebte Formel“

nicht gilt.


Aufgabe

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.


Aufgabe *

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

erfüllen.


Aufgabe

Beweise die Formel

Rechne dies explizit für nach.



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Menge und eine Menge mit einer Verknüpfung

Definiere auf der Abbildungsmenge

eine Verknüpfung unter Bezug auf die vorgegebene Verknüpfung. Übertragen sich die Eigenschaften Assoziativität, Kommutativität, Existenz eines neutralen Elementes, Existenz von inversen Elementen?


In der folgenden Aufgabe darf man Gesetzmäßigkeiten auf verwenden.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Menge der ganzen Zahlen mit der in Beispiel 5.2 eingeführten Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Menge, ein Element und

eine

bijektive Abbildung. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

gibt, die die Eigenschaften

erfüllt.


In den beiden folgenden Aufgaben darf man verwenden, dass die ganzen Zahlen einen kommutativen Ring bilden.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die in Beispiel 5.7 definierten Verknüpfungen und auf wohldefiniert sind.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die in Beispiel 5.7 eingeführte Quotientenmenge mit den dort eingeführten Verknüpfungen und und den Elementen und ein Körper ist.


In der folgenden Aufgabe darf man verwenden, dass ein Körper ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Menge

mit den beiden ausgezeichneten Elementen

der Addition

und der Multiplikation

Zeige, dass mit diesen Operationen ein Körper ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel



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