Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein angeordneter Körper.
  2. Eine Cauchy-Folge in .
  3. Die komplexe Konjugation.
  4. Die Stetigkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
  6. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  7. Die geometrische Reihe für .
  8. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes die Zahl

ein Vielfaches von ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, für welche die Matrix

invertierbar ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Vektorraum und

eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad mit der Basis

Erstelle für die Ableitungsabbildung

die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.

Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.


Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.

b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei . Es gelte

Zeige, dass


Aufgabe * (6 (1+2+1+2) Punkte)

Es sei die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Definiere auf eine Relation durch

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.

c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.

d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Es sei die Menge aller Häufungspunkte der Folge und

Zeige, dass eine abgeschlossene Teilmenge von ist.


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