Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein angeordneter Körper.
2. Eine Cauchy-Folge in $ℝ$.
3. Die komplexe Konjugation.
4. Die Stetigkeit einer Abbildung

   $\phi :ℝ⟶ℝ$

   in einem Punkt  $a\in ℝ$. 

5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
6. Eine lineare Abbildung

   $\phi :V⟶W$

   zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.

7. Die geometrische Reihe für  $x\in ℝ$. 
8. Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion

   $f:ℂ⟶ℂ$

   im Entwicklungspunkt $a\in ℂ$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen $p$ und $q$ größer ist.

$p=\frac{573}{-1234}\text{ und }q=\frac{-2007}{4322}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes  $n\in \mathbb{N}$  die Zahl

$6^{n+2}+7^{2n+1}$

ein Vielfaches von $43$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass  $1>0$  gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge

$\frac{\sin n}{n},n\in {\mathbb{N}}_{+}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, für welche  $x\in ℂ$  die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}{x}^2+x& -x\\ -x^3+2x^2+5x-1& x^2-x\end{array}\right)$

invertierbar ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 5\\ 0& -1& 0\\ 8& 0& 5\end{array}\right)$

gegebenen linearen Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3,v⟼Mv.$

Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine $n\times n$-Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& -4\end{array}\right).$

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige $2\times 2$-Matrix.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei $V$ ein Vektorraum und

$v_1,\dots ,v_n$

eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von $V$ bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor $v_i$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $V$ der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad $\le 4$ mit der Basis

$x^i,0\le i\le 4.$

Erstelle für die Ableitungsabbildung

$\phi :V⟶V,P⟼P^{\prime },$

die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.

Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=1+\ln x-\frac{1}{x}.$

a) Zeige, dass $f$ eine stetige Bijektion zwischen ${ℝ}_{+}$ und $ℝ$ definiert.

b) Bestimme das Urbild $u$ von $0$ unter $f$ sowie $f^{\prime }(u)$ und $(f^{-1}{)}^{\prime }(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

$f,g:ℝ⟶ℝ$

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei $a\in ℝ$. Es gelte

$f(a)\ge g(a)\text{ und }{f}^{\prime }(x)\ge g^{\prime }(x)\text{ für alle }x\ge a.$

Zeige, dass

$f(x)\ge g(x)\text{ für alle }x\ge a\text{ gilt}.$

Aufgabe * (6 (1+2+1+2) Punkte)

Es sei $M$ die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$. Definiere auf $M$ eine Relation durch

$f\sim g\text{ falls }f(0)=g(0),f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)\text{ und }{f}^{\prime \prime }(1)=g^{\prime \prime }(1).$

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.

c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.

d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in einem metrischen Raum $(M,d)$. Es sei $H$ die Menge aller Häufungspunkte der Folge und

$A=\{x_n:n\in \mathbb{N}\}\cup H.$

Zeige, dass $A$ eine abgeschlossene Teilmenge von $M$ ist.

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