Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 33/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{\sqrt {\pi }}x\sin x^{2}\,dx.$

In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\tan x.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{n}\cdot \ln x.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{\sqrt {x}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {x^{3}}{\sqrt[{5}]{x^{4}+2}}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und es seien ${}b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$(bt+c)\cdot f(t)$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{1/n},$

unter Verwendung der Stammfunktion von ${}x^{n}$ und Satz 33.5.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral ${}\int _{0}^{8}f(t)\,dt$, wobei die Funktion ${}f$ durch

$f(t)={\begin{cases}t+1,{\text{ falls }}0\leq t\leq 2\,,\\t^{2}-6t+11,{\text{ falls }}2<t\leq 5\,,\\6,{\text{ falls }}5<t\leq 6\,,\\-2t+18\,,{\text{ falls }}6<t\leq 8\,,\end{cases}}$

gegeben ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{3}\cdot \cos x-x^{2}\cdot \sin x.$

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\arcsin x.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1+3{\sqrt[{6}]{x-2}}}{{\sqrt[{3}]{(x-2)^{2}}}-{\sqrt {x-2}}}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\sin(\ln x).$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$(\ln(1+\sin x))\cdot \sin x.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{x}\cdot {\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}}}.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und ${}H$ eine Stammfunktion von ${}G$. Es seien ${}a,b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

${\left(at^{2}+bt+c\right)}\cdot f(t)$

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$

eine streng wachsende, bijektive Funktion und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Treppenfunktion.

a) Zeige, dass ${}f\circ \varphi$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

b) Es sei nun ${}\varphi$ zusätzlich stetig differenzierbar. Bestätige die Gleichung

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{c}^{d}f(\varphi (s))\varphi '(s)\,ds\,$

direkt, ohne Bezug auf die Substitutionsregel.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Betrachte die Funktion

${}f(x)=\int _{0}^{x}\sin(t)g(x-t)dt\,$

für ${}x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}f$ eine zweite Ableitung besitzt, und dass die folgende Beziehung gilt:

${}f^{\prime \prime }+f=g\,.$

(Mit einer geeigneten Substitution kann man erreichen, dass die Variable ${}x$ nicht mehr als Argument der Funktion ${}g$ auftritt. Danach geht es darum, geeignete trigonometrische Formeln anzuwenden.)

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Differenzierbare Funktion/Logarithmische Ableitung/Aufgabe

Aufgaben zum Hochladen

Wie im letzten Semester wird es auch in diesem Semester vereinzelt Aufgaben geben, bei denen graphisches Illustrationsmaterial angefertigt werden soll, das das Skript bzw. die Kursseite verschönern soll. Die zu erzielenden Punkte werden am Ende des Semesters gut geschrieben. Für weitere Informationen siehe hier.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man fertige eine Skizze an, die den Mittelwertsatz der Integralrechnung illustriert (mit flächengleichem Rechteck und Durchschnittshöhe).

Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Man schreibe eine Computeranimation, die den Beweis des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung illustriert (mit flächengleichen Rechtecken zu den bestimmten Integralen zur Intervalllänge ${}h$.).

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man fertige eine Skizze an, die den geometrischen Hintergrund zur Berechnung der Stammfunktion einer Umkehrfunktion illustriert.