Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der positive Teil einer Funktion

    wobei eine Menge bezeichnet.

  2. Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung

    von einem Maßraum in einen Messraum .

  3. Ein translationsinvariantes Maß auf .
  4. Der Limes superior zu einer reellen Folge .
  5. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
  6. Zwei in einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit tangential äquivalente differenzierbare Kurven

    (dabei sei ein offenes reelles Intervall und ).

  7. Die zurückgezogene Differentialform zu einer Differentialform bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .
  8. Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Fatou.
  2. Die Transformationsformel für Integrale zu einem -Diffeomorphismus

    wobei und

    offene Teilmengen des sind.
  3. Die Formel für die zurückgezogene Volumenform zu unter einer stetig differenzierbaren Abbildung
  4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.


Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius cm, der Topf sei cm hoch und auf die Höhe von cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den Vektoren

im erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Messraum und es sei

() eine Folge von messbaren Funktionen, wobei die -Algebra der Borelmengen trägt. Sei . Zeige, dass die Menge

eine messbare Teilmenge von ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten im die drei Vektoren

a) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des repräsentieren?

b) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?


Aufgabe * (10 (2+8) Punkte)

Sei

die Einheitssphäre. Zu ist

eine Ebene durch den Nullpunkt, die einen Großkreis (einen „Äquator“) und zwei offene Halbsphären auf definiert.

a) Beschreibe zu den zugehörigen Großkreis und die beiden Halbsphären mit Gleichungen bzw. mit Ungleichungen.

b) Zeige, dass man nicht mit drei offenen Halbsphären überdecken kann.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Es sei ein offenes reelles Intervall und es seien

zwei differenzierbare Kurven mit . Zeige, dass und genau dann tangential äquivalent in sind, wenn für jede Karte

mit und die Gleichheit
gilt.


Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung der Differentialform

auf dem .


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz von Green für ein Dreieck mit den Eckpunkten und für die Differentialform .


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