Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der positive Teil einer Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ,$

   wobei ${}M$ eine Menge bezeichnet.

2. Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   von einem Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum ${}(N,{\mathcal {B}})$.

3. Ein translationsinvariantes Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$.
4. Der Limes superior zu einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
5. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
6. Zwei in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven

   $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

   (dabei sei ${}0\in I$ ein offenes reelles Intervall und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$).

7. Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.
8. Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Fatou.
2. Die Transformationsformel für Integrale zu einem ${}C^{1}$-Diffeomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow H,$

   wobei ${}G$ und ${}H$

   offene Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind.
3. Die Formel für die zurückgezogene Volumenform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu ${}\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ unter einer stetig differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius ${}13$ cm, der Topf sei ${}10$ cm hoch und auf die Höhe von ${}7{,}7$ cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von ${}8{,}8$ cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ${}\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Messraum und es sei

$f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von messbaren Funktionen, wobei ${}\mathbb {R}$ die ${}\sigma$- Algebra der Borelmengen trägt. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{x\in X\mid a{\text{ ist ein H}}{\ddot {\rm {a}}}{\text{ufungspunkt der Folge }}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right\}}\,$

eine messbare Teilmenge von ${}X$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=s^{2}t+r\cos t\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x\\5\\7\end{pmatrix}}.$

a) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren?

b) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

Aufgabe * (10 (2+8) Punkte)

Sei

$S={\left\{P\in \mathbb {R} ^{3}\mid \Vert {P}\Vert =1\right\}}$

die Einheitssphäre. Zu ${}v=(a,b,c)\neq 0$ ist

$E_{v}={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid ax+by+cz=0\right\}}$

eine Ebene durch den Nullpunkt, die einen Großkreis (einen „Äquator“) und zwei offene Halbsphären auf ${}S$ definiert.

a) Beschreibe zu ${}v=(a,b,c)\neq 0$ den zugehörigen Großkreis und die beiden Halbsphären mit Gleichungen bzw. mit Ungleichungen.

b) Zeige, dass man ${}S$ nicht mit drei offenen Halbsphären überdecken kann.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Es sei ${}0\in I$ ein offenes reelles Intervall und es seien

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

zwei differenzierbare Kurven mit ${}\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$. Zeige, dass ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ genau dann tangential äquivalent in ${}P$ sind, wenn für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

${}(\alpha \circ (\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}))'(0)=(\alpha \circ (\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}))'(0)\,$

gilt.

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),$

und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),$

und die Differentialform

${}\omega =xdx-zdy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$.

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform ${}\omega$ zum Weg ${}\varphi \circ \gamma$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der Differentialform

$\omega =e^{xz}dx\wedge dy-xyzdx\wedge dz+(\sin(\cos(xy))+y^{10}z^{100})dy\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz von Green für ein Dreieck ${}D$ mit den Eckpunkten ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {R} ^{2}$ und für die Differentialform ${}xdy$.

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