Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	4	5	2	3	3	3	10	3	5	7	4	3	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Ein angeordneter Körper.
3. Die reelle Exponentialfunktion.
4. Der Differenzenquotient zu einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.
5. Eine stetig differenzierbare Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
6. Ein Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
2. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
3. Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien zwei rationale Zahlen ${}x<y$ gegeben. Zeige, dass für jede positive natürliche Zahl ${}n$ die rationale Zahl

${}z_{n}:={\frac {x+ny}{1+n}}\,$

echt zwischen ${}x$ und ${}y$ liegt. In welcher Größenbeziehung stehen die Zahlen ${}z_{n}$ zueinander?

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,$

mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Nullfolge und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge. Zeige, dass dann auch die Produktfolge ${}(x_{n}y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y=3x-2\,$

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass

${}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+3X+2$

ist.

Aufgabe * (10 (1+4+5) Punkte)

Wir betrachten die Quadratwurzelfunktion

${}f(x):={\sqrt {x}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$.

1. Erstelle eine Wertetabelle für ${}f$ für die Stellen ${}x=0,1,4,9$.
2. Bestimme das Polynom ${}p(x)$ kleinsten Grades, das mit ${}f$ an den Stellen ${}x=0,1,4$ übereinstimmt.
3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu ${}f$ und zu ${}p$ und die Intervalle, für die ${}f$ oberhalb bzw. unterhalb von ${}p$ verläuft.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit ${}f(a)\geq g(a)$ und ${}f(b)\leq g(b)$. Zeige, dass es einen Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=g(c)$ gibt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.

Aufgabe * (7 (1+1+3+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)={\frac {1}{\sin x}}\,$

im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von ${}f$.

b) Skizziere ${}f$ für ${}x$ zwischen ${}-2\pi$ und ${}2\pi$.

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von ${}f$.

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ von ${}f$ im Punkt ${}{\frac {\pi }{2}}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix

${\begin{pmatrix}1&x\\x^{2}&{\frac {x+1}{x^{2}}}\end{pmatrix}}$

über dem Körper der rationalen Funktionen ${}\mathbb {R} (X)$.

Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}2&1&-2+{\mathrm {i} }\\0&{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von ${}A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.