Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/15/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 5 2 3 3 3 10 3 5 7 4 3 6 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Ein angeordneter Körper.
  3. Die reelle Exponentialfunktion.
  4. Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .
  5. Eine stetig differenzierbare Funktion .
  6. Ein Vektorraum über einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
  2. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  3. Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.


Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

  1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
  2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
  3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
  4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
  5. Doro ist ein Wurm.
  6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
  7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

  1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
  2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
  3. Fängt der späte Igel den Wurm?


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien zwei rationale Zahlen gegeben. Zeige, dass für jede positive natürliche Zahl die rationale Zahl

echt zwischen und liegt. In welcher Größenbeziehung stehen die Zahlen zueinander?


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise die Formel

mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine reelle Nullfolge und eine beschränkte reelle Folge. Zeige, dass dann auch die Produktfolge eine Nullfolge ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

gegebenen Geraden.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Aufgabe * (10 (1+4+5) Punkte)

Wir betrachten die Quadratwurzelfunktion

auf .

  1. Erstelle eine Wertetabelle für für die Stellen .
  2. Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das mit an den Stellen übereinstimmt.
  3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu und zu und die Intervalle, für die oberhalb bzw. unterhalb von verläuft.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

stetige Funktionen mit und . Zeige, dass es einen Punkt mit gibt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.


Aufgabe * (7 (1+1+3+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von .

b) Skizziere für zwischen und .

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von .

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung von im Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix

über dem Körper der rationalen Funktionen .


Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.