Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/29/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	1	6	2	2	3	3	2	4	5	2	4	6	5	2	2	2	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}?$ w w w w f f f w w f f f

Aufgabe * (6 (2+2+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die beiden Sätze „Für jeden Topf gibt es einen Deckel“ und „Es gibt einen Deckel für jeden Topf“, die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch (quantorenlogisch) von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.

1. Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
2. Es sei ${}T$ die Menge der Töpfe und ${}D$ die Menge der Deckel. Es sei ${}P$ ein zweistelliges Prädikat derart, dass (für ${}x\in T$ und ${}y\in D$) ${}P(x,y)$ besagt, dass ${}y$ auf ${}x$ passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
3. Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
4. Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Person ${}A$ wird ${}80$ Jahre alt und Person ${}B$ wird ${}70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

1. ${}A$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden.
2. ${}A$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi \colon K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).

1. ${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$.
2. ${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$.
3. ${}1(a)=1$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{\frac {5}{4}}-2n^{\frac {4}{3}}+n}{4n^{\frac {7}{5}}+5n^{\frac {1}{2}}+1}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}$

konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}-3x+1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[-2,-1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/8$.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die lineare Approximierbarkeit.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis ${}a>0$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert von

${\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}$

im Punkt ${}1$, und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine ${}n$-fach stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die ${}n$-te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass ${}f$ maximal ${}n$ Nullstellen besitzt.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion

${}f(x)=x^{2}\,.$

1. Für welche reelle Zahl ${}c\geq 0$ ist der Flächeninhalt der durch die ${}x$-Achse, die Parabel und die durch ${}x=c$ bestimmte vertikale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ${}17$? Skizziere die Situation.
2. Für welche reelle Zahl ${}d\geq 0$ ist der Flächeninhalt der durch die Parabel und die durch ${}y=d$ bestimmte horizontale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ${}13$? Skizziere die Situation.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi \colon U\rightarrow V{\text{ und }}\psi \colon V\rightarrow W$

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die beiden Matrizen

$M={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,N={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

zueinander ähnlich sind.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix von

${\begin{pmatrix}3{\frac {1}{4}}&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2{\frac {2}{7}}&0\\0&0&0&{\frac {3}{11}}\end{pmatrix}},$

die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix, mit dem charakteristischen Polynom

${}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+c_{n-2}X^{n-2}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,.$

Bestimme das charakteristische Polynom der mit ${}s\in K$ gestreckten Matrix ${}sM$.