Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/T3/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 3 | 4 | 2 | 5 | 7 | 2 | 6 | 2 | 2 | 4 | 3 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Der Durchschnitt von Mengen und .
- Eine surjektive Abbildung
- Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
- Der Binomialkoeffizient .
- Der Realteil einer komplexen Zahl .
- Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
- Die Menge
heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
- Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
- Die Abbildung
die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .
- Der Binomialkoeffizient ist durch
definiert.
- Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil von .
- Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung
gilt.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz von Euklid über Primzahlen.
- Die allgemeine binomische Formel für .
- Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
- Es gibt unendlich viele Primzahlen.
- Für in einem Körper gilt
- Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
Aufgabe (1 Punkt)
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
|
.
Aufgabe (1 Punkt)
Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.
Aufgabe (4 (1+3) Punkte)
In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.
- Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
- Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
Lösung Höhle/Taschenlampe/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (2 Punkte)
Es seien und Mengen. Beweise die Identität
Es sei . Dann ist und . Letzteres bedeutet oder . Im ersten Fall ist , im zweiten Fall , in beiden Fällen also .
Wenn umgekehrt gilt, so bedeutet dies oder . Im ersten Fall ist und , im zweiten Fall und . Also ist und und somit ist .
Aufgabe (2 Punkte)
Skizziere die folgenden Teilmengen im .
- ,
- ,
- ,
- .
Lösung Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/5/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?
- ,
,
- ,
,
- ,
,
- ,
,
- Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle auf abgebildet werden soll, aber nicht zur Wertemenge gehört.
- Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle einerseits auf und andererseits auf abgebildet werden soll.
- Das ist keine Abbildung, da die Wertetabelle keinen Wert für festlegt.
- Das ist eine Abbildung. Sie ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.
Aufgabe (3 Punkte)
Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge Zentimeter beträgt. Gold wiegt Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. Euro im Jahr . Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?
Es ist
das ist die Goldmenge pro Person in Kubikzentimetern. In Gramm ist dies
Ein Gramm ist Euro wert, also besitzt jede Person
Euro in Gold.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass eine irrationale Zahl ist.
Wir machen die Annahme, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ist, und führen das zu einem Widerspruch. Es sei also angenommen, dass
die Eigenschaft besitzt, dass
ist. Eine rationale Zahl hat die Beschreibung als ein Bruch, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Die rationale Zahl können wir somit als
ansetzen. Ferner können wir annehmen (dieses Annehmen ist eine Vereinfachung der Situation und hat nichts mit der zum Widerspruch zu führenden Annahme zu tun), dass dieser Bruch gekürzt ist, dass also und keinen echten gemeinsamen Teiler haben. In der Tat brauchen wir lediglich, dass wir annehmen dürfen, dass zumindest eine Zahl, oder ungerade ist (wenn beide gerade sind, so können wir mit kürzen, u.s.w.) Die Eigenschaft
bedeutet ausgeschrieben
Multiplikation mit ergibt die Gleichung
(dies ist eine Gleichung in bzw. sogar in ). Diese Gleichung besagt, dass gerade ist, da ja ein Vielfaches der ist. Daraus ergibt sich aber auch, dass selbst gerade ist, da ja das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist. Deshalb können wir den Ansatz
mit einer ganzen Zahl machen. Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten
Wir können mit kürzen und erhalten
Also ist auch und damit selbst gerade. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass nicht sowohl als auch gerade sind.
Aufgabe (2 Punkte)
Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige mittels vollständiger Induktion für die Formel
Bei besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden , die Summe ist also . Da ungerade ist, steht rechts , der Induktionsanfang ist also gesichert.
Es sei die Aussage nun für bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für zu zeigen. Die Summe links ist
Bei gerade (also ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich
was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei ungerade (also gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich
was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.
Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)
Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Alle Tiere gehören einer eindeutigen Generation an.
- Die -te Generation bestehe nur aus einem einzigen Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch nur aus diesem Geschlecht besteht.
- Die -te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
- Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
- Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?
- Wenn die Generation nur aus dem Geschlecht besteht, so sind nur Paarungen innerhalb dieses Geschlechts möglich und das Ergebnis gehört stets diesem Geschlecht an. Mit Induktion folgt, dass dies über alle folgenden Generationen so bleibt.
- Die Generation bestehe aus einem Individuum des Geschlechts und aus einem Individuum des Geschlechts . Die Folgegeneration besteht dann ausschließlich aus dem dritten Geschlecht und nach Teil (1) überträgt sich das auf alle folgenden Generationen.
- Wenn es nur ein oder kein Individuum gibt, so ist keine Paarung möglich und die nächste Generation ist leer. Wenn es zwei Individuen gibt, so ist nur eine Paarung möglich und es gibt nur einen Nachkommen, der sich allein nicht fortpflanzen kann. Wenn es dagegen mindestens drei Individuen, egal welchen Geschlechts, gibt, so sind auch mindestens drei Paarungen möglich und die nächste Generation besitzt mindestens wieder drei Individuen.
- Wenn drei gleichgeschlechtliche Individuen in einer Generation leben, so erzeugen die drei möglichen Paare stets wieder ebendieses Geschlecht. Die Möglichkeiten sind oder oder und die Periodenlänge ist . Wenn drei unterschiedliche Geschlechter vertreten sind, so ist jedes Geschlecht durch genau ein Individuum vertreten, es liegt also vor. Die drei Paarungen führen dann wieder zu und die Periodenlänge ist ebenfalls . Wenn ein Geschlecht durch zwei Individuen vertreten ist und ein zweites Geschlecht durch ein Individuum, sagen wir , so wird daraus und daraus und daraus . Die Periodenlänge ist also . Von diesem Typ gibt es zwei Generationsabfolgen, nämlich die mit (mit und ) und die mit (mit und ).
Aufgabe (2 Punkte)
Erstelle das Pascalsche Dreieck bis .
Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)
Die Bernoullische Ungleichung
gilt für reelle Zahlen
und natürliche Exponenten .
- Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten für alle gilt.
- Zeige durch ein Beispiel, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten nicht für alle gilt.
- Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten für alle gilt.
- Es ist
da Quadrate positiv sind.
- Es sei
.
Dann ist einerseits
und andererseits
was größer ist.
- Es ist nach
dem binomischen Lehrsatz
und es ist zu zeigen, dass dies ist. Dies ist äquivalent zur Abschätzung
Wir können den Faktor
vorziehen und daher ist dies äquivalent zu
Wegen
ist dies erfüllt.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die inversen Elemente der folgenden komplexen Zahlen.
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Aufgabe (2 Punkte)
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Es ist
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nach Lemma 4.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (5) nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .
Aufgabe (3 Punkte)
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).
Die Formel für lautet
Daher ist
Somit ist
Schließlich ist
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in eindeutig bestimmt ist.
Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte , , gibt. Dann ist . Wir betrachten . Wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit
und wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für . Es sei mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch