Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/9/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	8	2	6	4	2	1	4	6	3	8	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die ${}f$ eine Lösung ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe (ohne weitere Begründung) den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis (der Zeiger soll also im Zeitintervall ${}[0,60]$ eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt ${}0$ „oben“ starten).

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

\varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,

die rektifizierbar ist, deren Länge aber ${}>1$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

y'=ty+1{\text{ mit }}y(0)=0

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}5$ .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem ${}K^{2}$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme zur Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},

die Richtungsableitung in Richtung ${}3$ für jeden Punkt.

Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

(x,y)\mapsto \varphi (x,y)=x^{y}.

Was ist der Definitionsbereich ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ dieser Abbildung?
Berechne die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}P\in G$ .
Ist die Funktion total differenzierbar?

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen Urlaub in den Bergen. Das Gebirge wird in einer geeigneten Umgebung durch die Funktion (alles in Meter)

{}f(x,y)=3000-{\frac {1}{1000}}x^{2}-{\frac {1}{1000}}y^{2}+{\frac {1}{100}}x\,

beschrieben.

In welchem Punkt (welchen Punkten) besitzt das Gebirge einen Gipfel? Wie hoch ist es in den Gipfeln?
Vorli hat Höhenangst und möchte nicht auf den Gipfel. Deshalb wählen sie einen Rundgang, der zum Punkt ${}(0,0)$ konstant den Grundabstand ${}1000$ besitzt. Bestimme die größte und die niedrigste Höhe, die die drei auf ihrer Wanderung erreichen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}U\subseteq V$ und ${}U'\subseteq W$ offene Teilmengen und

\varphi \colon U\longrightarrow U'

ein Diffeomorphismus. Es sei

F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto F(t,x),

ein Vektorfeld auf ${}U$ . Es sei ${}G$ das durch

{}G(t,y):={\left(D\varphi \right)}_{\varphi ^{-1}(y)}{\left(F(t,\varphi ^{-1}(y))\right)}\,

definierte Vektorfeld auf ${}U'$ . Zeige, dass

\alpha \colon J\longrightarrow U

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems

x'=F(t,x){\text{ mit }}x(t_{0})=x_{0},

wenn ${}\varphi \circ \alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems

y'=G(t,y){\text{ mit }}y(t_{0})=\varphi (x_{0})

ist.

Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(v)v,

ein zeitunabhängiges Zentralfeld zur stetig differenzierbaren Funktion

g\colon V\longrightarrow \mathbb {R} .

a) Zeige, dass das Wegintegral dieses Vektorfeldes längs eines stetig-differenzierbaren Weges, der zum Nullpunkt einen konstanten Abstand besitzt, gleich ${}0$ ist.

b) Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es eine stetige Funktion

f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}

mit

{}g(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,

gibt.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von ${}3\times 3$ Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von ${}5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Schwerpunkt des positiven Viertels des Einheitskreises, also von

{}T={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\,x,y\geq 0\right\}}\,.