Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 22/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

\setcounter{section}{22}






\zwischenueberschrift{Kriterien für Extrema}

In der zwanzigsten Vorlesung haben wir gesehen, dass es eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums einer differenzierbaren Funktion ist, dass die Ableitung an der in Frage stehenden Stelle gleich $0$ ist. Wir formulieren nun ein wichtiges hinreichendes Kriterium, das auf die höheren Ableitungen Bezug nimmt.




\inputfaktbeweis
{Reelle Funktion/Extremum/Höhere Ableitungen/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine
\mathl{(n+1)}{-}mal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{,} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein innerer Punkt des Intervalls.}
\faktvoraussetzung {Es gelte
\mathdisp {f'(a)= f^{\prime \prime}(a) = \ldots = f^{(n)}(a)=0 \text{ und } f^{(n+1)}(a) \neq 0} { . }
}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Wenn $n$ gerade ist, so besitzt $f$ in $a$ kein \definitionsverweis {lokales Extremum}{}{.} }{Es sei $n$ ungerade. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt $f$ in $a$ ein \definitionsverweis {isoliertes lokales Minimum}{}{.} }{Es sei $n$ ungerade. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a) }
{ < }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt $f$ in $a$ ein \definitionsverweis {isoliertes lokales Maximum}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Unter den Voraussetzungen wird die Taylor-Formel zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)-f(a) }
{ =} { \frac{ f^{ (n+1) } ( c )}{ (n+1)! } (x-a)^{ n+1 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit $c$ \zusatzklammer {abhängig von $x$} {} {} zwischen \mathkor {} {a} {und} {x} {.} Je nachdem, ob \mathkor {} {f^{(n+1)}(a)>0} {oder} {f^{(n+1)}(a) < 0} {} ist, gilt auch \zusatzklammer {wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der $(n+1)$-ten Ableitung} {} {} \mathkor {} {f^{(n+1)}(x)>0} {bzw.} {f^{(n+1)}(x) < 0} {} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{[a-\epsilon,a+\epsilon] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein geeignetes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für diese $x$ ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{ [a-\epsilon,a+\epsilon] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so dass das Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(c)}{} vom Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(a)}{} abhängt.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Bei $n$ gerade ist
\mathl{n+1}{} ungerade und daher wechselt
\mathl{(x-a)^{n+1}}{} das Vorzeichen bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x }
{ < }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist das Vorzeichen negativ und bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x }
{ > }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist es positiv} {} {.} Da das Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(c)}{} sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von
\mathl{f(x)-f(a)}{.} Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $n$ ungerade. Dann ist
\mathl{n+1}{} gerade, so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x-a)^{n+1} }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ > }{ f(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und in $a$ ein \definitionsverweis {isoliertes Minimum}{}{}Vorlage:Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung vorliegt, und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a) }
{ < }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ < }{ f(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und in $a$ ein \definitionsverweis {isoliertes Maximum}{}{}Vorlage:Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung vorliegt.}
{}

}


Ein Spezialfall davon ist, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(a) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime}(a) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein isoliertes Minimum und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(a) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime}(a) }
{ < }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein isoliertes Maximum vorliegt.







\zwischenueberschrift{Die Taylor-Reihe}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sintay.eps} }
\end{center}
\bildtext {Die reelle Sinusfunktion zusammen mit verschiedenen approximierenden Taylorpolynomen (von ungeradem Grad).} }

\bildlizenz { Sintay.svg } {} {Qualc1} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{,} \maabbdisp {f} {I} { \R } {} eine unendlich oft \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann heißt
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^{ \infty } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k }} { }
die \definitionswort {Taylor-Reihe}{} zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.

}





\inputfaktbeweis
{Konvergente Potenzreihe/R/Taylor-Reihe/Übereinstimmung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n }}{} eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{,} die auf dem \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{]-r, r[}{} \definitionsverweis {konvergiere}{}{,} und es sei \maabbdisp {f} { ]-r,r[} {\R } {} die dadurch definierte \definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ unendlich oft \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} und die \definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{} im Entwicklungspunkt $0$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die unendliche Differenzierbarkeit folgt direkt aus Satz 21.1 durch \definitionsverweis {Induktion}{}{.} Daher existiert die Taylor-Reihe insbesondere im Punkt $0$. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass die $n$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $f$ in $0$ den Wert
\mathl{c_n n!}{} besitzt. Dies folgt aber ebenfalls aus Satz 21.1.

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ \defeq} { \begin{cases} 0,\, \text{ falls } x \leq 0\, , \\ e^{- \frac{1}{x} },\, \text{ falls } x > 0 \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Wir behaupten, dass diese Funktion unendlich oft \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, was nur im Nullpunkt nicht offensichtlich ist. Man zeigt zunächst durch Induktion, dass sämtliche Ableitungen von
\mathl{e^{- \frac{1}{x} }}{} \zusatzklammer {und der rechtsseitige Differenzenquotient im Nullpunkt} {} {} die Form
\mathl{p { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} }}{} mit gewissen Polynomen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \in }{\R [Z] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzen und dass davon der \definitionsverweis {Limes}{}{} für
\mathl{x \rightarrow 0,\, x >0}{} stets $0$ ist \zusatzklammer {siehe Aufgabe 22.4 und Aufgabe 22.5} {.} {.} Daher ist der \zusatzklammer {rechtsseitige} {} {} Limes für alle Ableitungen gleich $0$ und existiert. Alle Ableitungen am Nullpunkt haben also den Wert $0$ und daher ist die \definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{} im Nullpunkt die \definitionsverweis {Nullreihe}{}{.} Die Funktion $f$ ist aber in keiner Umgebung des Nullpunktes die \definitionsverweis {Nullfunktion}{}{,} da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^{- \frac{1}{x} } }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.


}






\zwischenueberschrift{Potenzreihenansatz}

Die Taylor-Reihe einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion liefert häufig eine gute Approximation für die Funktion. Definitionsgemäß muss man zur Berechnung der Taylor-Reihe die Funktion ableiten. Für \anfuehrung{implizit}{} gegebene Funktionen kann man sie aber auch direkt bestimmen, was wir hier anhand typischer Beispiele demonstrieren \zusatzklammer {\stichwort {Potenzreihenansatz} {}} {} {.} Als Faustregel gilt dabei, dass man lediglich die $n$-ten Ableitungen der die Funktion definierenden Daten kennen muss, um das $n$-te Taylor-Polynom der Funktion zu bestimmen. Wir verzichten weitgehend auf Konvergenzüberlegungen. Wenn aber die Daten durch Potenzreihen gegeben sind, so konvergieren die im Folgenden beschriebenen Taylor-Reihen auf einem gewissen Intervall und stellen eine Funktion dar.






\inputbemerkung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f} {I} {J } {} und \maabbdisp {g} {J} {\R } {} Funktionen, für die die \definitionsverweis {Taylor-Polynome}{}{} in den Entwicklungspunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \defeq }{ f(a) }
{ \in }{J }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bis zum Grad $n$ bekannt seien \zusatzklammer {insbesondere seien also diese Funktionen bis zur Ordnung $n$ differenzierbar} {} {.} Dann ist die hintereinandergeschaltete Funktion \maabbdisp {g \circ f} {I} {\R } {} bis zur Ordnung $n$ differenzierbar. Das zugehörige Taylor-Polynom lässt sich direkt berechnen: Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ \sum_{i = 0}^{ n } c_i (x-a)^{i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Taylor-Polynom zu $f$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ = }{ \sum_{j = 0}^{ n } d_j (y-b)^{j} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Taylor-Polynom zu $g$. Dann stimmt das Taylor-Polynom von
\mathl{g \circ f}{} bis zum Grad $n$ mit dem Polynom
\mathl{T \circ S}{} bis zum Grad $n$ überein \zusatzklammer {das Polynom
\mathl{T \circ S}{} hat im Allgemeinen einen Grad $> n$. Man denke an \mathkor {} {f(x)=x^2} {und} {g(y)=y^2} {} und \mathlk{n=2}{}} {} {.} D.h. man muss in $T$ überall $y$ durch $S$ ersetzen, durch Umsortieren ein Polynom in
\mathl{x-a}{} erhalten und davon die Monome vom Grad
\mathl{\geq n +1}{} weglassen \zusatzklammer {diese Monome muss man also nicht ausrechnen} {} {.}

}






\inputbemerkung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine $n$-fach \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktion, für die das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bis zum Grad $n$ bekannt sei und für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei. Dann ist die Funktion
\mathl{1/f}{} auf einem offenen Intervall um $a$ definiert und nach Lemma 19.7  (4) differenzierbar in $a$. Aufgrund von Satz 14.13 gilt \zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \betrag { x } }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 1-x } } }
{ =} { \sum^\infty_{i = 0} x^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ =} { \sum^\infty_{i = 0} (1-x)^{i} }
{ =} { \sum^\infty_{i = 0} (-1)^{i} (x-1)^{i} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} d.h. für die Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x } }}{} ist die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt $1$ bekannt. Wir ersetzen $f$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h }
{ = }{{ \frac{ 1 }{ f(a) } } f }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(a) }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Dann kann man die Funktion
\mathl{1/h}{} als die Verknüpfung von $h$ mit der Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x } }}{} schreiben. Daher erhält man wegen Bemerkung 22.5 das Taylor-Polynom bis zum Grad $n$ von
\mathl{1/h}{,} indem man in
\mathl{\sum_{i = 0}^{ n } (-1)^{i} (x-1)^{i}}{} das Taylor-Polynom \zusatzklammer {bis zum Grad $n$} {} {} von $h$ im Entwicklungspunkt $a$ einsetzt und beim Grad $n$ abschneidet. Das Taylor-Polynom von $1/f$ erhält man, indem man durch
\mathl{f(a)}{} teilt.

}




\inputbeispiel{}
{

Wir möchten die Taylor-Reihe bis zum Grad $6$ von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \cos x } }}{} im Entwicklungspunkt $0$ gemäß Bemerkung 22.6 bestimmen. Nach Definition 18.10 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos x }
{ =} { \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n} }{(2n)!} }
{ =} { 1 - { \frac{ 1 }{ 2! } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 4! } } x^4 - { \frac{ 1 }{ 6! } } x^6 \ldots }
{ =} { 1 - { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 24 } } x^4 - { \frac{ 1 }{ 720 } } x^6 \ldots }
{ } { }
} {}{}{.} Zur Berechnung des Taylor-Polynoms bis zum Grad $6$ braucht man nur die angeführte Entwicklung des Kosinus bis zum Grad $6$. Das Taylorpolynom bis zum Grad $6$ von
\mathl{1/ \cos x}{} im Nullpunkt ist somit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{1- { \left( - { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 24 } } x^4 - { \frac{ 1 }{ 720 } } x^6\right) } + { \left(- { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 24 } } x^4 - { \frac{ 1 }{ 720 } } x^6\right) }^2 - { \left(- { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 24 } } x^4 - { \frac{ 1 }{ 720 } } x^6\right) }^3 }
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 - { \frac{ 1 }{ 24 } } x^4 + { \frac{ 1 }{ 720 } } x^6 + { \frac{ 1 }{ 4 } } x^4 - { \frac{ 1 }{ 24 } } x^6 + \cdots + { \frac{ 1 }{ 8 } } x^6 + \ldots }
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 5 }{ 24 } } x^4 + { \frac{ 61 }{ 720 } } x^6 + \ldots }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Dabei wurden nur die für den Grad $6$ relevanten Monome ausgerechnet. Das gesuchte Taylorpolynom ist also
\mathdisp {1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 5 }{ 24 } } x^4 + { \frac{ 61 }{ 720 } } x^6} { . }


}






\inputbemerkung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {J } {} \zusatzklammer {$I,J$ seien reelle Intervalle} {} {} eine bijektive, $n$-mal \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktion, und in einem festen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(a) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Satz 19.9 ist die Umkehrfunktion \maabbdisp {g=f^{-1}} {J} {I } {} ebenfalls differenzierbar. Die Taylorreihe bis zum Grad $n$ der Umkehrfunktion $g$ kann man aus der Taylorreihe $S$ bis zum Grad $n$ von $f$ berechnen. Man macht dazu ausgehend von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f \circ g }
{ = }{ \operatorname{Id} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S \circ T }
{ \stackrel{!}{ = }} { x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei steht rechts die Taylor-Reihe der Identität, und links muss man das zu bestimmende Polynom $T$ mit unbestimmten Koeffizienten ansetzen und in das Polynom $S$ einsetzen \zusatzklammer {die Gleichung kann nicht als eine polynomiale Identität gelten, sondern nur, wenn man Terme vom Grad $\geq n+1$ ignoriert} {} {.} Der Einfachheit halber sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{a_1 x+ a_2x^2 + \cdots + a_{ n } x^{ n } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{a_1 \neq 0}{}} {} {} vorgegeben und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ = }{b_1 x+ b_2x^2 + \cdots + b_{ n } x^{ n } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gesucht. Dies führt zur Gesamtbedingung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x }
{ =} {S \circ T }
{ =} { a_1 T+ a_2T^2 + \cdots + a_{ n } T^{ n } }
{ =} { a_1 (b_1 x + \cdots + b_{ n } x^{ n } )+ a_2 { \left(b_1 x + \cdots + b_{ n } x^{ n }\right) }^2 + \cdots + a_{ n } { \left(b_1 x + \cdots + b_{ n } x^{ n }\right) }^{ n } }
{ } { }
} {} {}{.} Damit erhält man die Einzelbedingungen \zusatzklammer {durch Koeffizientenvergleich zu jedem Grad $\leq n$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ =} {a_1b_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {a_1b_2 +a_2b_1^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {a_1b_3 + 2a_2b_1b_2 +a_3b_1^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} aus denen man sukzessive die Koeffizienten
\mathl{b_1,b_2,b_3, \ldots}{} berechnen kann.

}



<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF) (PDF englisch)