Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 40/latex
\setcounter{section}{40}
\zwischenueberschrift{Das charakteristische Polynom}
Wir möchten zu einem Endomorphismus \maabb {\varphi} {V} {V } {} die Eigenwerte und dann auch die Eigenräume bestimmen. Dazu ist das charakteristische Polynom entscheidend.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ mit Einträgen in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ \defeq} {\det \left( X \cdot E_{ n } - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {charakteristische Polynom}{}\zusatzfussnote {Manche Autoren definieren das charakteristische Polynom als Determinante von \mathlk{M - X \cdot E_n}{} anstatt von \mathlk{X \cdot E_n - M}{.} Dies ändert aber
\zusatzgs {und zwar nur bei $n$ ungerade} {}
nur das Vorzeichen} {.} {}
von $M$.
}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X-a_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1n} \\ -a_{21} & X-a_{22} & \ldots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \ldots & X-a_{nn} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In dieser Definition nehmen wir Bezug auf die Determinante von Matrizen, die wir nur für Matrizen mit Einträgen in einem Körper definiert haben. Die Einträge sind jetzt aber Elemente im Polynomring
\mathl{K[X]}{.} Da wir sie aber als Elemente im
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
\mathl{K(X)}{} auffassen können\zusatzfussnote {\mathlk{K(X)}{} heißt der Körper der rationalen Polynome; er besteht aus allen Brüchen
\mathl{P/Q}{} zu Polynomen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K [X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder $\C$ kann man diesen Körper mit der Menge der rationalen Funktionen identifizieren} {.} {,}
ist dies eine sinnvolle Definition. Gemäß der Definition ist diese Determinante ein Element in
\mathl{K(X)}{,} da aber alle Einträge der Matrix Polynome sind und bei der rekursiven Definition der Determinante nur addiert und multipliziert wird, ist das charakteristische Polynom wirklich ein Polynom. Der Grad des charakteristischen Polynoms ist $n$ und der Leitkoeffizient ist $1$, d.h. die Gestalt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} {X^n + c_{n-1}X^{n-1} + \cdots + c_1 X+c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es gilt die wichtige Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } (\lambda)
}
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
siehe
Aufgabe 40.3.
Für eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem endlichdimensionalen Vektorraum definiert man das \stichwort {charakteristische Polynom} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ \defeq} { \chi_{ M }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis sei. Der
Determinantenmultiplikationssatz
zeigt, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist.
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
$\chi_{ \varphi }$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
für $\varphi$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (\lambda)
}
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn die lineare Abbildung
\mathdisp {\lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi} { }
nicht
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
\zusatzklammer {und nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{}} {} {}
ist
\zusatzklammer {wegen
Satz 11.11
und
Lemma 10.6} {} {.}
Dies ist nach
Fakt *****
und
Lemma 9.12
äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} ( \lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was bedeutet, dass der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zu $\lambda$ nicht der Nullraum ist, also $\lambda$ ein Eigenwert zu $\varphi$ ist.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die reelle Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det { \left( x E_2 -M \right) }
}
{ =} { \det { \left( x \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} x & -5 \\ -1 & x \end{pmatrix}
}
{ =} { x^2-5
}
}
{}
{}{.}
Die Eigenwerte sind also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \pm \sqrt{5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {diese Eigenwerte haben wir auch in
Beispiel 39.9
ohne charakteristisches Polynom gefunden} {} {.}
}
\inputbeispiel{}
{
Zur Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X-2 & -5 \\ 3 & X-4 \end{pmatrix}
}
{ =} { (X-2)(X-4) +15
}
{ =} { X^2 -6X +23
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-3)^2
}
{ =} {-23 +9
}
{ =} {-14
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die über $\R$ nicht erfüllbar ist, so dass die Matrix über $\R$ keine
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
besitzt. Über ${\mathbb C}$ hingegegen gibt es die beiden Eigenwerte
\mathkor {} {3+\sqrt{14} { \mathrm i}} {und} {3 - \sqrt{14} { \mathrm i}} {.}
Für den
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zu
\mathl{3+\sqrt{14} { \mathrm i}}{} muss man
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{Eig}_{ 3+\sqrt{14} { \mathrm i} } { \left( M \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} { \left( { \left( 3+ \sqrt{14} { \mathrm i} \right) } E_2 - M \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} \begin{pmatrix} 1 + \sqrt{14} { \mathrm i} & -5 \\ 3 & -1 + \sqrt{14} { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
bestimmen, ein Basisvektor
\zusatzklammer {also ein Eigenvektor} {} {}
davon ist
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\1+ \sqrt{14} { \mathrm i} \end{pmatrix}}{.} Analog ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ 3 -\sqrt{14} { \mathrm i} } { \left( M \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} \begin{pmatrix} 1 - \sqrt{14} { \mathrm i} & -5 \\ 3 & -1 - \sqrt{14} { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 5 \\1 - \sqrt{14} { \mathrm i} \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Für eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
nach
Lemma 11.8
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { (X-d_1)(X-d_2) \cdots (X-d_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
In diesem Fall liegt das charakteristische Polynom direkt in der Zerlegung in lineare Faktoren vor, so dass unmittelbar seine Nullstellen und damit die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
von $M$ ablesbar sind, nämlich die Diagonalelemente
\mathl{d_1,d_2 , \ldots , d_n}{}
\zusatzklammer {die nicht alle verschieden sein müssen} {} {.}
}
\zwischenueberschrift{Vielfachheiten}
Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {} eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms
\mathl{X - \lambda}{} im charakteristischen Polynom $\chi_{ \varphi }$ die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von $\lambda$, die wir mit
\mathl{\mu_\lambda \defeq \mu_\lambda(\varphi)}{} bezeichnen, und die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also
\mathdisp {\operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }} { }
die \stichwort {geometrische Vielfachheit} {} von $\lambda$. Der vorstehende Satz besagt also, dass die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt. Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Geometrische und algebraische Vielfachheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mathl{\lambda \in K}{.}}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen der
\definitionsverweis {geometrischen}{}{}
und der
\definitionsverweis {algebraischen Vielfachheit}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ \leq} { \mu_\lambda(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von diesem
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{,}
die wir durch
\mathl{w_1 , \ldots , w_{n-m}}{} zu einer Basis von $V$
ergänzen.
Bezüglich dieser Basis hat die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda E_m & B \\ 0 & C \end{pmatrix}} { . }
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist daher
nach Aufgabe *****
gleich
\mathl{(X- \lambda)^m \cdot \chi_{ C }}{,} so dass die
\definitionsverweis {algebraische Vielfachheit}{}{}
mindestens $m$ ist.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten
\mathl{2\times 2}{-}\stichwort {Scherungsmatrizen} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} {(X-1)(X-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass $1$ der einzige
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $M$ ist. Den zugehörigen
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
berechnet man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ 1 } { \left( M \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} \begin{pmatrix} 0 & -a \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \\s \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -as \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
ist, und dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Eigenraum eindimensional ist
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional} {} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {algebraische Vielfachheit}{}{}
des Eigenwerts $1$ gleich $2$, die
\definitionsverweis {geometrische Vielfachheit}{}{}
gleich $1$.
}
\zwischenueberschrift{Diagonalisierbarkeit}
Die Einschränkung einer linearen Abbildung auf einen Eigenraum ist die Streckung um den zugehörigen Eigenwert, also eine besonders einfache lineare Abbildung. Viele Eigenwerte mit hochdimensionalen Eigenräumen korrespondieren zu strukturell einfachen linearen Abbildungen. Ein Extremfall liegt bei den sogenannten diagonalisierbaren Abbildungen vor.
Bei einer Diagonalmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}} { }
ist das charakteristische Polynom einfach gleich
\mathdisp {(X-d_1) (X-d_2) \cdots (X-d_n)} { . }
Wenn die Zahl $d$ in den Diagonalelementen $k$-mal vorkommt, so kommt auch der Linearfaktor
\mathl{X-d}{} mit dem Exponenten $k$ in der Faktorisierung des charakteristischen Polynoms vor. Dies gilt auch, wenn nur eine obere Dreiecksmatrix vorliegt. Anders aber als bei einer oberen Dreiecksmatrix kann man bei einer Diagonalmatrix sofort die Eigenräume angeben, siehe
Beispiel 39.7,
und zwar besteht der Eigenraum zu $d$ aus allen Linearkombinationen der Standardvektoren $e_i$, für die $d_i$ gleich $d$ ist. Insbesondere ist die Dimension des Eigenraums gleich der Anzahl, wie oft $d$ als Diagonalelement auftritt. Bei einer Diagonalmatrix stimmen also algebraische und geometrische Vielfachheiten überein.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann heißt $\varphi$ \definitionswort {diagonalisierbar}{,} wenn $V$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} zu $\varphi$ besitzt.
}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}
}{Es gibt eine Basis $\mathfrak{ v }$ von $V$ derart, dass die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
\mathl{M_ \mathfrak{ v }^ \mathfrak{ v }(\varphi)}{} eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
ist.
}{Für jede beschreibende Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ M_ \mathfrak{ w }^ \mathfrak{ w }(\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich einer Basis $\mathfrak{ w }$ gibt es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
$B$ derart, dass
\mathdisp {B M B^{-1}} { }
eine Diagonalmatrix ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt aus der Definition, aus Beispiel 39.7 und der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen. Die Äquivalenz von (2) und (3) folgt aus Korollar 10.5.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Verschiedene Eigenwerte/Diagonalisierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verschiedene
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} besitze.}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von Lemma 39.14 gibt es $n$ \definitionsverweis {linear unabhängige}{}{} \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{.} Diese bilden nach Korollar 8.9 eine \definitionsverweis {Basis}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir schließen an
Beispiel 39.9
an. Es gibt die beiden
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
\mathkor {} {\begin{pmatrix} \sqrt{5} \\1 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} -\sqrt{5} \\1 \end{pmatrix}} {}
zu den verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
\mathkor {} {\sqrt{5}} {und} {- \sqrt{5}} {,}
so dass die Abbildung
nach Korollar 40.10
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist. Bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
$\mathfrak{ u }$ aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & - \sqrt{5} \end{pmatrix}} { . }
beschrieben.
Die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
von der Basis $\mathfrak{ u }$ zur durch
\mathkor {} {e_1} {und} {e_2} {}
gegebenen
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
$\mathfrak{ v }$ ist einfach
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} \sqrt{5} & - \sqrt{5} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
dazu ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{2 \sqrt{5} } \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{5} \\ -1 & \sqrt{5} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Gemäß
Korollar 10.5
besteht die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & - \sqrt{5} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \frac{1}{2 } & \frac{ \sqrt{5} }{2} \\ \frac{1}{2 } & \frac{ -\sqrt{5} }{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{5} & - \sqrt{5} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{5} & - \sqrt{5} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
}
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|---|