Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 16/kontrolle

Übungsaufgaben

Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}\cdot \exp \left(x^{3}-4x\right).

Aufgabe Aufgabe 16.3 ändern

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

f'=f{\text{ und }}f(0)=1.

Zeige, dass ${}f(x)=\exp x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe * Aufgabe 16.4 ändern

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 16.1).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die ${}1034871$ -te Ableitung der Sinusfunktion.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin \left(\cos x\right).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)(\cos x).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für ${}n\in \mathbb {N}$ die Ableitung der Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)^{n}.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen ${}f^{(k)}(a)$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}},

streng wachsend ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

{}\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.

b)

{}\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.

c)

{}\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.

Aufgabe * Aufgabe 16.12 ändern

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]

induziert.

Aufgabe Aufgabe 16.13 ändern

Zeige, dass die reelle Tangensfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

]-\pi /2,\pi /2[\longrightarrow \mathbb {R}

und die reelle Kotangensfunktion eine bijektive streng fallende Funktion

[0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R}

induziert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine periodische Funktion und

g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}f\circ g$ nicht periodisch sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass ${}f$ beschränkt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x-{\frac {1}{x}}.

a) Zeige, dass ${}f$ eine stetige Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ definiert.

b) Bestimme das Urbild ${}u$ von ${}0$ unter ${}f$ sowie ${}f'(u)$ und ${}(f^{-1})'(0)$ . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ an.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x)=\pi ^{x}+x^{e}.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.

Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
Bestimme das Bild von ${}f$ .
Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
Skizziere den Funktionsgraphen von ${}f$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Betrachte die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}.

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von ${}f$ . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere den Funktionsverlauf von

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-2x}-2e^{-x}.

Bestimme insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von ${}f$ , ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,f(x)$ und ebenso für die Ableitung ${}f'$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion

g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin {\frac {1}{x}}.

Aufgabe Aufgabe 16.23 ändern

Zeige, dass die durch

{}f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,

definierte Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x}}$ ,
${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {(\sin x)^{2}}{x}}$ ,
${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x^{2}}}$ ,
${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ , ${}x\rightarrow 0$ , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

${}\sin {\frac {1}{x}}$ ,
${}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$ ,
${}{\frac {1}{x}}\cdot \sin {\frac {1}{x}}$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zu einem Startwert ${}x_{0}\in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ sei eine Folge rekursiv durch

{}x_{n+1}:=\sin x_{n}\,

definiert. Entscheide, ob ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Folge

{}x_{n}:=\sin n\,

nicht konvergiert.

Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe Aufgabe 16.28 ändern

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

1,\,11,\,21,\,1211,\,111221,\,312211,\,...

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die linearen Funktionen, die tangential zur Exponentialfunktion sind.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{x}.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ . Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.