Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 19/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie ${}30$ km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch ${}30$ km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

und ein kompaktes Intervall ${}[a,b]\subset \mathbb {R}$ aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die zweite Ableitung der Funktion

{}F(x)=\int _{0}^{x}{\sqrt {t^{5}-t^{3}+2t}}\,dt\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ein Körper werde zum Zeitpunkt ${}0$ losgelassen und falle luftwiderstandsfrei aus einer gewissen Höhe unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde nach unten. Berechne die Geschwindigkeit ${}v(t)$ und die zurückgelegte Strecke ${}s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit ${}t$ . Nach welcher Zeit hat der Körper ${}100$ Meter zurückgelegt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , ${}x\longmapsto f(x)$ , eine stetige Funktion und ${}F(x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)$ . Zeige, dass ${}F(x-a)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x-a)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , ${}x\longmapsto f(x)$ , eine stetige Funktion und ${}F(x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)$ . Zeige, dass ${}-F(-x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(-x)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , ${}x\longmapsto f(x)$ , eine stetige Funktion und ${}F(x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)$ . Zeige, dass ${}F(x)+cx$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)+c$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion zu

{}f(x)=4x^{2}-3x+2\,,

die an der Stelle ${}3$ den Wert ${}5$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

\int _{-1}^{4}3x^{2}-5x+6\,dx.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

\int _{2}^{5}{\frac {x^{2}+3x-6}{x-1}}\,dx.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu ${}f(x)=x^{2}$ und ${}g(x)={\sqrt {x}}$ eingeschlossen wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}a$ die minimale positive Zahl mit ${}\sin a=\cos a$ . Berechne den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch den Graphen des Kosinus und den Graphen des Sinus oberhalb von ${}[0,a]$ eingeschlossen wird.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel ${}{\sqrt {x}}$ für ${}x\in [1,4]$ . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von ${}1$ und ${}4$ und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von ${}1$ und der Wurzel von ${}4$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall ${}[6,22]$ (in Stunden) durch die Funktion

f\colon [6,22]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=-t^{3}+27t^{2}-120t,

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abschätzung

{}{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\leq \ln 2\,

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion ${}f(x)={\frac {1}{x}}$ auf dem Intervall ${}[1,2]$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion und es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion

h(x)=\int _{0}^{g(x)}f(t)\,dt

differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Betrachte die durch

a_{n}:=\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}f(t)\,dt

definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ eine konvergente Reihe mit ${}a_{n}\in [0,1]$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion.

Zeige, dass dann die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{a_{n}}f(x)dx

absolut konvergent ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f$ eine Riemann-integrierbare Funktion auf ${}[a,b]$ mit ${}f(x)\geq 0$ für alle ${}x\in [a,b]$ . Man zeige: Ist ${}f$ stetig in einem Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)>0$ , dann gilt