Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 19

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?


Aufgabe *

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

und ein kompaktes Intervall aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).


Aufgabe

Bestimme die zweite Ableitung der Funktion


Aufgabe

Ein Körper werde zum Zeitpunkt losgelassen und falle luftwiderstandsfrei aus einer gewissen Höhe unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde nach unten. Berechne die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit . Nach welcher Zeit hat der Körper Meter zurückgelegt?


Aufgabe

Es sei , , eine stetige Funktion und eine Stammfunktion zu . Zeige, dass eine Stammfunktion zu ist.


Aufgabe

Es sei , , eine stetige Funktion und eine Stammfunktion zu . Zeige, dass eine Stammfunktion zu ist.


Aufgabe

Es sei , , eine stetige Funktion und eine Stammfunktion zu . Zeige, dass eine Stammfunktion zu ist.


Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion zu

die an der Stelle den Wert besitzt.


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu und eingeschlossen wird.


Aufgabe

Es sei die minimale positive Zahl mit . Berechne den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch den Graphen des Kosinus und den Graphen des Sinus oberhalb von eingeschlossen wird.


Aufgabe *

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel für . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von und und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von und der Wurzel von .


Aufgabe *

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall (in Stunden) durch die Funktion

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.


Aufgabe *

Zeige, dass für jedes die Abschätzung

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion auf dem Intervall .


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Funktion und es sei eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.


Aufgabe

Es sei eine stetige Funktion. Betrachte die durch

definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Reihe mit für alle und sei eine Riemann-integrierbare Funktion.

Zeige, dass dann die Reihe

absolut konvergent ist.


Aufgabe

Sei eine Riemann-integrierbare Funktion auf mit für alle . Man zeige: Ist stetig in einem Punkt mit , dann gilt


Aufgabe

Man zeige, dass die Gleichung
eine einzige Lösung besitzt.


Aufgabe

Seien

zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft

Beweise, dass es ein mit gibt.


Aufgabe *

Sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral , wobei die Funktion durch

gegeben ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt unterhalb[1] des Graphen der Sinusfunktion zwischen und .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der beiden Funktionen und mit

eingeschlossen wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

zwei stetige Funktionen und es sei für alle . Zeige, dass es dann ein gibt mit




Fußnoten
  1. Gemeint ist hier der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der -Achse.


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