Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 16

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Es sei

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

Zeige, dass für alle ist.


Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 16.1).


Aufgabe

Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Bestimme für die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Es sei eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen .


Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

streng wachsend ist.


Aufgabe *

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

b)

c)


Aufgabe

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

induziert.


Aufgabe

Zeige, dass die reelle Tangensfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

und die reelle Kotangensfunktion eine bijektive streng fallende Funktion

induziert.


Aufgabe

Es sei

eine periodische Funktion und

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung nicht periodisch sein muss.


Aufgabe

Es sei eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass beschränkt ist.


Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.

b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.


Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

a) Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.

b) Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von .

d) Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.

e) Skizziere den Funktionsgraphen von .


Aufgabe *

Betrachte die Funktion

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.


Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf von

Bestimme insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von , und ebenso für die Ableitung .


Aufgabe

Skizziere die Funktion


Aufgabe

Zeige, dass die durch

definierte Funktion

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?


Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe *

Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Zeige, dass die Folge

nicht konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die linearen Funktionen, die tangential zur Exponentialfunktion sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Die folgende Aufgabe soll ohne Bezug auf die zweite Ableitung gelöst werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Extrema der Funktion


Aufgabe (5 Punkte)

Wir möchten möglichst genau als kleinste Nullstelle des Kosinus mit Hilfe der Kosinusreihe

und der Intervallhalbierung des Zwischenwertsatzes (im Sinne von Verfahren 11.3) bestimmen. Dabei haben wir das Problem, dass der Kosinus numerisch nicht exakt berechnet werden kann, da er ja unendlich viele Summanden besitzt. Deshalb verwenden wir die Idee, als -te Approximation für die untere Intervallgrenze der -ten Intervallhalbierung (des Ausgangsintervalls ) für die Nullstelle der abgeschnittenen Kosinusreihe zu verwenden (man macht also eine zunehmend feinere Intervallschachtelung einer zunehmend besseren Approximation der Kosinusfunktion)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das die Folgenglieder berechnet und nacheinander ausdruckt.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können.
    • Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit (diese müssen also nicht erzeugt werden).
    • Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann die rationalen Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl ) ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.
    • Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.

(Wir behaupten nicht, dass diese Methode eine gegen konvergente Folge liefert).

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert .



<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)