Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 44

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $⟨-,-⟩$ eine Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$. Zeige

$⟨0,v⟩=0$

für alle  $v\in V$. 

Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen

${ℝ}^2\times {ℝ}^2⟶ℝ$

Bilinearformen sind.

a)

$\Psi (v,w)=\Vert v\Vert .$

b)

$\Psi (v,w)=\Vert v-w\Vert .$

c)

$\Psi (v,w)=\Vert v\Vert \cdot \Vert w\Vert .$

d)

$\Psi (v,w)=\mathrm{\angle }(v,w).$

Aufgabe

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im ${ℝ}^2$ bezüglich der Basis $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\end{array}\right)$.

Aufgabe *

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem $K^2$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine Bilinearform auf $V$. Zeige, dass $⟨-,-⟩$ genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis $v_1,\dots ,v_n$ von $V$ mit

$⟨v_i,v_j⟩=⟨v_j,v_i⟩$

für alle  $1\le i,j\le n$  gibt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine Bilinearform auf $V$. Zeige, dass diese Form genau dann symmetrisch ist, wenn die Gramsche Matrix von ihr bezüglich einer Basis symmetrisch ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Determinante in der Dimension zwei, also die Abbildung

$K^2\times K^2⟶K,(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right))⟼x_1{y}_2-x_2{y}_1,$

keine symmetrische Bilinearform ist.

Kommentar:

Die Determinante in Dimension zwei ist eine Bilinearform und eine ausführliche Besprechung, warum diese nicht Symmetrisch ist, ist im Kommentar zur Aufgabe 44.10 zu finden.

Man kann hier aber auch ganz einfach ein Gegenbeispiel angeben. Allein die Standardbasisvektoren genügen zu betrachten, wie auch die Lösung von Aufgabe 44.4 zeigt.

 

Aufgabe *

Zeige, dass es eine Bilinearform $⟨-,-⟩$ auf einem Vektorraum $V$ geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber

$⟨v,v⟩=0$

für alle  $v\in V$  ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass $V$ eine Orthogonalbasis besitzt.

Aufgabe

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen $\phi :{ℝ}^2\times {ℝ}^2\to ℝ$ bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

a)  $\phi (x,y):=x_1{y}_1$. 

b)  $\phi (x,y):=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. 

c)  $\phi (x,y):=2x_1{y}_2+3x_2{y}_1$. 

Kommentar:

Für Bilinearität müssen wir eintragsweise Linearität zeigen, das heißt, sowohl für festes $y\in {ℝ}^2$ muss

${ℝ}^2⟶ℝ,x⟼\phi (x,y)$

linear sein als auch für festes $x\in {ℝ}^2$ muss

${ℝ}^2⟶ℝ,y⟼\phi (x,y)$

linear sein. Für die erste Funktion $\phi (x,y)=x_1{y}_1$ folgt dies direkt aus dem Distributivgesetz, denn für beliebiges, festes $y\in {ℝ}^2$ gilt für alle $a,b\in ℝ$ und $x,w\in {ℝ}^2$

$\phi (ax+bw,y)=(ax+bw{)}_1{y}_1=(a{x}_1+b{w}_1)y_1$

$=a{x}_1{y}_1+b{w}_1{y}_1=a\phi (x,y)+b\phi (w,y).$

Für den zweiten Eintrag folgt die Linearität analog.

Die Symmetrie ist durch die Kommutativität der Multiplikation gegeben, denn

$\phi (x,y)=x_1{y}_1=y_1{x}_1=\phi (y,x).$

Da wir eine symmetrische Bilinearform haben, welche nicht die Nullform ist, ist sie auch nicht alternierend. Dazu ist sich klar zumachen, dass eine alternierende Bilinearform eine antisymmetrische Bilinearform ist, d.h. $\phi (x,y)=-\phi (y,x)$ und Symmetrie und Antisymmetrie nur bei der Nullform zuammen geht. Warum ist das so? Dass die Antisymmetrie aus der Eigenschaft alternierend zu sein folgt, ist folgendermaßen zu sehen. Dadurch, dass eine alternierende Bilinearform null ist, falls zwei Einträge gleich sind, gilt durch Ausnuzten der Bilinearität

$\phi (x,y)+\phi (y,x)=\phi (x+y,x)+\phi (x+y,y)=\phi (x+y,x+y)=0.$

Demnach ist $\phi (x,y)=-\phi (y,x)$, also wird das Vorzeichen bei Tausch der beiden Einträge gewechselt. Das ist für Bilinearformen die Antisymmetrie.

Auch für Multilinearformen kann auf gleicher Art gezeigt werden, dass aus der Eigenschaft alternierend zu sein folgt, dass sich das Vorzeichen wechselt, wenn zwei Einträge getauscht werden. Das typische Beispiel einer alternierdenden Multilinearform ist die Determinante, bei der sich das Vorzeichen nach Tauschen zweier Spalten ändert.

 

Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$ vom Typ $(p,q)$. Zeige, dass

$p+q\le n$

ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe

Auf dem ${ℝ}^2$ sei durch

$⟨\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)⟩=x_1{x}_2-y_1{y}_2$

eine symmetrische Bilinearform gegeben. Bestimme zu jeder Geraden $G$ durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung der Form auf die Gerade positiv definit, negativ definit oder die Nullform ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $ℝ$-Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform vom Typ $(p,q)$ und es sei  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ $(p^{\prime },q^{\prime })$. Zeige  $p^{\prime }\le p$  und  $q^{\prime }\le q$. 

Aufgabe *

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler $ℝ$-Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform vom Typ $(p,q)$ und es sei  $U\subseteq V$  ein $d$-dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ $(p^{\prime },q^{\prime })$. Zeige

$p^{\prime }\ge d+p-n.$

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ mit einer symmetrischen Bilinearform $⟨-,-⟩$ auf $V$ und einer Basis $u_1,\dots ,u_n$ von $V$ derart, dass  $⟨u_i,u_i⟩>0$  für alle  $i=1,\dots ,n$  ist, aber $⟨-,-⟩$ nicht positiv definit ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $⟨-,-⟩$ auf $V$. Es sei $u_1,\dots ,u_n$ eine Orthogonalbasis von $V$ mit der Eigenschaft  $⟨u_i,u_i⟩>0$  für alle  $i=1,\dots ,n$.  Zeige, dass $⟨-,-⟩$ positiv definit ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass die Gramsche Matrix zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge $1,-1$ oder $0$ sind.

Aufgabe

Es sei $M$ eine symmetrische reelle $n\times n$-Matrix. Zeige, dass es eine invertierbare Matrix $A$ derart gibt, dass

$A^{\text{tr}}MA=D$

eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge $1,-1$ oder $0$ sind.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Es seien $G$ und $H$ die Gramschen Matrizen zu dieser Form bezüglich der Basen $𝔲$ und $𝔳$. Zeige, dass die Determinante von $G$ genau dann positiv (negativ, $0$) ist, wenn dies auf die Determinante von $H$ zutrifft.

Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& -5\end{array}\right)$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Kommentar:

In der Vorlesung wurden zwei praktische Möglichkeiten vorgestellt den Typ einer symmetrischen Bilinearform zu bestimmen. Beide Varianten nutzen die Grammatrix bezüglich einer Basis. In dieser Aufgabe haben wir eine symmetrische Matrix gegeben. Diese kann man als Grammatrix einer symmetrischen Bilinearform zur Standardbasis interpretieren. Um den Typ der zugehörigen Bilinearform zu bestimmten, arbeiten wir einfach mit dieser Matrix.

Zum Einen können wir das Eigenwertkriterium nutzten. Wir stellen dazu das charakteristische Polynom der gegebenen Matrix auf und berechnen die Eigenwerte, indem wir die Nullstellen dieses Polynoms finden. In diesem Fall bekommen wir einen positiven und einen negativen Eigenwert. Wie genau sieht das charakteristische Polynom und die Eigenwerte aus? Danach müssen die Dimensionen der jeweiligen Eigenräume berechnet werden. Der Typ ist dann (p,q), wobei $p$ die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu positiven Eigenwerten und $q$ die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu negativen Eigenwerten ist. Da unser Vektorraum nur zweidimensional ist und wir zwei verschiedene Eigenwerte haben, können die zugehörigen Eigenräume jeweils nur eindimensional sein. Damit müsste es einfach sein, den Typ der Bilinearform anzugeben.

Zum Anderen können wir das Minorenkriterium verwenden, welches die Determinanten der größer werdenden Blöcke oben links in der Matrix verwendet. Determinanten von quadratischen Untermatrizen bezeichnet man in der linearen Algebra auch als Minoren und die Determinanten der oberen linken Blöcke, im speziellen, als die führenden Hauptminoren einer Matrix. Die führenden Hauptminoren sind in unserem Fall $D_0=1,D_1=det(3)=3$ und $D_2=det\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& -5\end{array}\right)$, dabei ist $D_0$ definitionsgemäß immer $1$. Es kommt heraus, dass diese alle ungleich Null sind, was eine Voraussetzung des Satzes ist. Jetzt müssen die Vorzeichenwechsel von einer Zahl zur nächsten gezählt werden. Sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel $a$, dann ist der Typ (2-a,a), wobei die $2$ die Dimensionierung der Ausgangsmatrix ist.

 

Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 1\\ 4& -2& 3\\ 1& 3& 5\end{array}\right)$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Aufgabe *

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}7& 0& 0\\ 0& 5& -4\\ 0& -4& 2\end{array}\right)$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Aufgabe *

Es sei $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf einem zweidimensionalen reellen Vektorraum, die bezüglich einer Basis durch die Gramsche Matrix

$\left(\begin{array}{cc}0& b\\ b& c\end{array}\right)$

beschrieben werde. Bestimme den Typ der Form in Abhängigkeit von $b,c$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen $\phi :{ℝ}^2\times {ℝ}^2\to ℝ$ bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

a)  $\phi (x,y):=x_1-y_1$. 

b)  $\phi (x,y):=x_1{y}_1-x_2{y}_2$. 

c)  $\phi (x,y):=2x_1{y}_2-2x_2{y}_1$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $\Phi$ eine Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$. Zeige, dass für Vektoren  $v_1,\dots ,v_r,w_1,\dots ,w_s\in V$  und Skalare  $a_1,\dots ,a_r,b_1,\dots ,b_s\in K$  die Gleichheit

$\Phi (a_1{v}_1+\cdots +a_r{v}_r,b_1{w}_1+\cdots +b_s{w}_s)=\sum _{1\le i\le r,1\le j\le s}{a}_i{b}_j\Phi (v_i,w_j)$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im ${ℝ}^3$ bezüglich der Basis $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $⟨-,-⟩$ vom Typ $(p,q)$. Zeige, dass die negierte Form $-⟨-,-⟩$ den Typ $(q,p)$ besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}6& 7& -1\\ 7& 5& 6\\ -1& 6& -3\end{array}\right)$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.