Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 59

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das Integral

über dem Quader .


Aufgabe

Es sei der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen und . Berechne das Integral


Aufgabe *

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus durch eine reelle Zahl aus () dividiert?


Aufgabe *

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Aufgabe *

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Aufgabe

Verallgemeinere Korollar 59.6 auf den Fall eines Quaders .


Aufgabe *

Es sei

ein Quader im und sei

ein Monom. Berechne .


Aufgabe

Berechne das Integral , wobei und der Einheitszylinder ist.


Aufgabe *

Zeige, dass der Schwerpunkt eines Intervalls mit dem arithmetischen Mittel der Intervallgrenzen übereinstimmt.


Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Ecken .


Aufgabe

Berechne mittels Integration den Schwerpunkt eines Dreiecks, das durch die drei Punkte und (mit ) gegeben sei.


Aufgabe

Zeige, dass der Schwerpunkt eines Dreieckes mit den Eckpunkten gleich ist.


Für einen einfacheren Ansatz zur Lösung der vorstehenden Aufgabe siehe Aufgabe 60.13.

Aufgabe *

Es seien kompakte Teilmengen mit positivem Volumen derart, dass ihr Durchschnitt das Volumen besitze. Es sei der Schwerpunkt von und der Schwerpunkt von . Zeige, dass der Schwerpunkt der Vereinigung durch

gegeben ist.


Zu einer endlichen Teilmenge definiert man den Schwerpunkt durch . Dies ist kein Spezialfall von Definition 59.11, da dort vorausgesetzt wird, dass das Volumen der Teilmenge nicht ist. Aufgabe 59.12 zeigt, dass für ein Dreieck der Schwerpunkt der drei Eckpunkte mit dem Schwerpunkt des flächigen Dreiecks übereinstimmt. Eine weitere Beziehung zwischen den beiden Konzepten wird durch die folgende Aufgabe gestiftet.

Aufgabe

Es seien endlich viele Punkte. Es sei derart, dass die abgeschlossenen Bälle paarweise zueinander disjunkt seien. Es sei

Zeige, dass der Schwerpunkt von gleich ist.


Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt des oberen Einheitshalbkreises


Aufgabe *

Bestimme den Schwerpunkt derjenigen Fläche, die auf durch die Standardparabel und die durch gegebene Gerade begrenzt wird.


Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt derjenigen Fläche, die auf durch die beiden positiven Koordinatenachsen und den Graphen der Kosinusfunktion begrenzt wird.


Aufgabe

Bestimme durch Integration die - und die Koordinate des Schwerpunktes der oberen Einheitshalbkugel (siehe Beispiel 59.12).


Aufgabe *

Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt Grad beträgt.

  1. Berechne die Grundseite des Dreiecks.
  2. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.


Aufgabe *

Dr. Eisenbeis und Prof. Knopfloch haben einen runden Kuchen mit einem Durchmesser von cm gebacken und ihn in gleichgroße Kuchenstücke aufgeteilt. Am übernächsten Tag ist leider nur noch ein Stück übrig, das sie gerecht aufteilen möchten. Da Dr. Eisenbeis den Rand nicht mag, teilen sie nicht der Länge nach, sondern so, dass die eine Hälfte ein gleichschenkliges Dreieck wird.

  1. Wie lang ist die Schnittkante?
  2. Liegt der Schwerpunkt des Kuchenstücks auf der Schnittkante? Falls nein, wer isst den Schwerpunkt?

Tipp: Bei einen gleichschenkligen Dreieck mit dem Winkel Grad ist das Verhältnis von Grundfläche zu Schenkellänge gleich   (siehe Aufgabe 59.19). Vergleiche mit dem Schwerpunkt des gleichschenkligen Dreiecks, das entsteht, wenn man das Kuchenstück zu einem gleichschenkligen Dreieck auffüllen würde, als den runden Rand durch eine im Randmittelpunkt tangentiale gerade Strecke ersetzt. Bei einem Dreieck mit den Ecken liegt der Schwerpunkt in .


Zur exakten Berechnung des Schwerpunktes in der vorstehenden Situation siehe Aufgabe 60.3.

Aufgabe *

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass der Schwerpunkt des Intervalls zur Massenverteilung mit der -Koordinate des geometrischen Schwerpunktes des Subgraphen zu übereinstimmt.


Aufgabe

Auf der quadratischen Platte sei eine elektrische Ladung gemäß verteilt. Bestimme den Schwerpunkt der positiven Teilladung und den Schwerpunkt der negativen Teilladung.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei der Subgraph der Sinusfunktion zwischen und . Berechne die Integrale

a) ,

b) .


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion über dem Rechteck .


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Für welche Quadrate der Kantenlänge wird das Integral

maximal? Welchen Wert besitzt es?


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral über der Kreisscheibe in Abhängigkeit von und .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine kompakte Teilmenge und eine Basis von mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen . Es sei

eine stetige Massenverteilung auf mit der Gesamtmasse . Zeige, dass

die -te Koordinate des Schwerpunktes von bezüglich dieser Basis ist.



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