Kurs:Mathematik für Anwender II/2/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Die Norm zu einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}\mathbb {R}$ - Vektorraum ${}V$ .
Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum ${}V$ .
Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Die Faser zu einer Abbildung
$\varphi \colon L\longrightarrow M$

über einem Punkt ${}x\in M$ .
Das totale Differential in einem Punkt ${}P\in V$ einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung
$\varphi \colon V\longrightarrow W$

(dabei seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume).
Ein kritischer Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ einer total differenzierbaren Abbildung
$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}.$
Eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ .
Die Laplace-Ableitung einer zweimal differenzierbaren Funktion
$u\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt ${}x\in L$ zu einer Abbildung
$\varphi \colon L\longrightarrow M$

zwischen metrischen Räumen
${}L$ und ${}M$ .
Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld
$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
gegebenes Anfangswertproblem.
Die Formel für das Volumen einer kompakten Teilmenge ${}T\subset \mathbb {R} ^{n}$ unter einer linearen Abbildung
$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe * (2 ( ${}4\cdot 0,5$ ) Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

B_{0}(t)=(1-t)^{2},\,B_{1}(t)=2t(1-t){\text{ und }}B_{2}(t)=t^{2}.

Es seien ${}v_{0},v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ drei Vektoren. Wir definieren die Kurve

{}f(t):=B_{0}(t)v_{0}+B_{1}(t)v_{1}+B_{2}(t)v_{2}\,.

a) Berechne ${}f(0)$ und ${}f(1)$ .

b) Berechne ${}f'(t)$ .

c) Zeige, dass ${}f'(0)$ ein Vielfaches von ${}v_{1}-v_{0}$ und ${}f'(1)$ ein Vielfaches von ${}v_{2}-v_{1}$ ist.

d) Skizziere für ${}v_{0}=(0,1)$ , ${}v_{1}=(1,1)$ und ${}v_{2}=(2,0)$ das Bild der Kurve ${}f(t)$ für ${}0\leq t\leq 1$ .

In der folgenden Aufgabe darf elementargeometrisch argumentiert werden.

Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt ${}M=(0,0)$ und Radius ${}3$ , also

{}T={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\geq 3\right\}}\,.

Eine Person befindet sich im Punkt ${}A=(5,0)$ und möchte zum Punkt ${}B=(-5,0)$ , wobei sie sich nur in ${}T$ bewegen darf.

a) Zeige, dass die Person von ${}A$ nach ${}B$ entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge ${}12,5$ ist.

b) Zeige, dass die Person von ${}A$ nach ${}B$ entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal ${}11,9$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix

{}M={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\-3&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,

über ${}{\mathbb {C} }$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto e^{t}x{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},

mit ${}\varphi (0)={\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}$ .

Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t^{2}x-xy\\t^{3}+x^{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}x(0)=1{\text{ und }}y(0)=0

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}4$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto f(x,y,z)=e^{x}yz^{2}-xy,

im Punkt ${}(1,0,-1)$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Begründe ohne Differentialrechnung, dass die Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x^{2}-y^{2},

kein lokales Extremum besitzt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).

Zeige, dass ein Punkt ${}P=(x,y,z)$ genau dann ein regulärer Punkt von ${}F$ ist, wenn die Koordinaten von ${}P$ paarweise verschieden (also ${}x\neq y$ , ${}x\neq z$ und ${}y\neq z$ ) sind.

Aufgabe * (11 (4+7) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{4}.

a) Bestimme zu jedem Punkt ${}(r,s)\in \mathbb {R} ^{2}$ das Volumen des Körpers

{}K={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid r\leq x\leq r+1,\,s\leq y\leq s+1,\,0\leq z\leq f(x,y)\right\}}\,.

b) Zeige, dass das (von ${}(r,s)$ abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt ${}(r,s)$ minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).

Aufgabe * (5 Punkte)

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite ${}2{\rm {m}}$ und die Länge ${}10{\rm {m}}$ , die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite ${}3{\rm {m}}$ und die Länge ${}12{\rm {m}}$ , wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand ${}2{\rm {m}}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung ${}12.000{\rm {kg}}$ . Der Tiefgang des Bootes soll maximal ${}1,5{\rm {m}}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?