Kurs:Mathematik für Anwender II/2/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem -Vektorraum .
  2. Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  4. Die Faser zu einer Abbildung

    über einem Punkt .

  5. Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

    (dabei seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume).

  6. Ein kritischer Punkt einer total differenzierbaren Abbildung
  7. Eine sternförmige Teilmenge .
  8. Die Laplace-Ableitung einer zweimal differenzierbaren Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt zu einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen

    und .
  2. Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
  3. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld
    gegebenes Anfangswertproblem.
  4. Die Formel für das Volumen einer kompakten Teilmenge unter einer linearen Abbildung


Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe * (2 ( ) Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

Es seien drei Vektoren. Wir definieren die Kurve

a) Berechne und .

b) Berechne .

c) Zeige, dass ein Vielfaches von und ein Vielfaches von ist.

d) Skizziere für , und das Bild der Kurve für .


In der folgenden Aufgabe darf elementargeometrisch argumentiert werden.

Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Ebene ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt und Radius , also

Eine Person befindet sich im Punkt und möchte zum Punkt , wobei sie sich nur in bewegen darf.

a) Zeige, dass die Person von nach entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge ist.

b) Zeige, dass die Person von nach entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix

über .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Begründe ohne Differentialrechnung, dass die Funktion

kein lokales Extremum besitzt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein regulärer Punkt von ist, wenn die Koordinaten von paarweise verschieden (also , und ) sind.


Aufgabe * (11 (4+7) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers

b) Zeige, dass das (von abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).


Aufgabe * (5 Punkte)

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite und die Länge , die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite und die Länge , wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung . Der Tiefgang des Bootes soll maximal betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?




Hilfsmittel


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