Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 29

Aufgaben

Aufgabe

Bestimme das Residuum der Kohomologieklasse ${}[z^{-1}dz]\in H^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}})$ über eine repräsentierende Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen.

Aufgabe

Bestimme das Gesamtresiduum für die Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, die die Trägerpunkte ${}0,3,\infty$ besitzt mit den repräsentierenden meromorphen Differentialformen ${}{\frac {\mathrm {i} }{z}}dz$ in ${}0$, ${}{\frac {2}{z-3}}d(z-3)$ in ${}3$ und ${}{\frac {4-{\mathrm {i} }}{w}}dw$ in ${}\infty$ (${}w=z^{-1}$).

Aufgabe *

Wir betrachten die meromorphe Differentialform ${}\omega ={\frac {z+1}{z(z-1)}}dz$ auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.

1. Bestimme zu jedem Punkt den zugehörigen Hauptteil der Differentialform.
2. Berechne in jedem Punkt das Residuum.
3. Bestätige, dass das Gesamtresiduum gleich ${}0$ ist.

Aufgabe

Projektive Gerade/C/Hauptteilverteilung für Differentialform/Realisierung/Aufgabe

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${}\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen. Zeige ${}\delta (\tau )=0$ in ${}H^{1}(X,\Omega _{X})$ genau dann, wenn für das Gesamtresiduum ${}\operatorname {Res} _{}\left(\tau \right)=0$ ist.