Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine riemannsche Fläche. Eine meromorphe Differentialform auf wird gegeben durch eine holomorphe Differentialform auf , wobei eine diskrete Teilmenge bezeichnet, mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt lokal die Differentialform von der Form mit einer meromorphen Funktion und mit einem lokalen Parameter in ist.

Die meromorphen Differentialformen bilden eine Garbe auf , die wir mit bezeichnen.

Bemerkung  

Die Ableitung , lässt sich fortsetzen zur Ableitung

Hierbei wird lokal der meromorphen Funktion die meromorphe Differentialform zugeordnet. Diese Ableitung ist wieder -linear und ein Garbenhomomorphismus, aber kein Modulhomomorphismus. Zu einer globalen meromorphen Differentialform (für die Existenz vergleiche Fakt) erhält man einen Garbenhomomorphismus

Da lokal ein Isomorphismus vorliegt, handelt es sich um einen Isomorphismus. Es liegt also eine nichtkanonische Isomorphie vor. Insbesondere kann man bei einer gegebenen meromorphen Form jede weitere meromorphe Form als

mit einer eindeutig bestimmten meromorphen Funktion schreiben. Für nichtkonstante meromorphe Funktionen gibt es insbesondere eine Beziehung

mit einer meromorphen Funktion . Nicht jede meromorphe Differentialform kann man als mit einer meromorphen Funktion schreiben, siehe Aufgabe.


Holomorphe Differentialformen sind insbesondere meromorphe Differentialformen, wir haben also die Untergarbenbeziehung . Dies erlaubt neben der Einbettung von holomorphen Differentialformen in reell-differenzierbare -Formen eine weitere Auflösungsmöglichkeit für die holomorphen Differentialformen. In einem Punkt gilt

der Quotientenmodul ist also in einem Punkt isomorph zum Hauptteilmodul in diesem Punkt. Um mit natürlichen Abbildungen zu arbeiten und falsche Identifizierungen zu vermeiden sollte man in diesem Kontext die Hauptteilverteilungen stets punktweise durch mit einer meromorphen Differentialform aus repräsentieren oder in der Form mit einem lokalen Parameter in . Die zugehörige Garbe bezeichnen wir mit , sie ist isomorph zur Garbe der Hauptteilverteilungen.



Lemma

Auf einer riemannschen Fläche

liegt eine kurze exakte Sequenz von Garben

vor.

Beweis

Siehe Aufgabe.



Beispiel  

Auf der projektiven Geraden ist eine globale meromorphe Differentialform. Es sei die Standardüberdeckung. Auf ist die Form holomorph, im Nullpunkt hat sie einen Pol der Ordnung . Auf mit dem lokalen Parameter ist

im unendlich fernen Punkt liegt also auch ein Pol der Ordnung vor. Diese Form definiert im Sinne von Fakt die Differentialform-Hauptteilverteilung mit dem Träger und den Werten in und in . Diese Verteilung rührt wie gezeigt von einer globalen meromorphen Form her. Dagegen rührt die Verteilung, die allein im Punkt den Wert besitzt, nicht von einer globalen meromorphen Form her (dies folgt auch sofort aus Fakt). Eine solche müsste nämlich auf eine holomorphe Differentialform sein, also von der Form mit einer holomorphen ganzen Funktion auf , sagen wir

Doch eine solche Form hat, wie die Transformation mit zeigt, in einen Pol der Ordnung . Die Verteilung wiederum, die allein im Punkt den Wert besitzt, rührt von ebendieser meromorphen Form her, da

eine holomorph Differentialform ist.



Definition  

Zu einer meromorphen Differentialform auf einer riemannschen Fläche und einem Punkt mit einer lokalen Beschreibung (wobei ein lokaler Parameter und eine meromorphe Funktion ist) nennt man das Residuum von in das Residuum der Differentialform in . Es wird mit bezeichnet.

Eine holomorphe Differentialform nennt man auch (meromorphe) Differentialform erster Gattung. Darüber hinaus gibt es die folgenden Sprechweisen.


Definition  

Eine meromorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche heißt Differentialform zweiter Gattung, wenn alle ihre Residuen für gleich sind.


Definition  

Eine meromorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche heißt Differentialform dritter Gattung, wenn sie höchstens Pole der Ordnung besitzt.