Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 29

Das Residuum einer Kohomologieklasse

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Nach Satz 16.15 gibt es eine exakte kurze Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Eine Kohomologieklasse ${}c\in H^{1}(X,\Omega _{X})$ wird wegen ${}H^{1}(X,{\mathcal {E}}^{(1,0)})=0$ über den verbindenden Homomorphismus von einer Flächenform ${}\sigma \in H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ repräsentiert. Diese ist bis auf das Bild einer differenzierbaren ${}(1,0)$-Form, also ${}d\omega$, eindeutig bestimmt. Nach Korollar 89.3 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)) ist

${}\int _{X}d\omega =0\,.$

Wir definieren das Residuum zur Kohomologieklasse ${}c$ durch

${}\operatorname {Res} _{}\left(c\right):={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\sigma \,,$

und dies ist unabhängig von der gewählten Flächenform ${}\sigma$, die ${}c$ realisiert. Dies definiert einen Homomorphismus

$H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

Dieser ist surjektiv, da es auf ${}X$ nach Satz 88.11 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)) reelle überall positive Flächenformen gibt, deren Gesamtintegral somit positiv ist.

Beispiel

Wir betrachten auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Flächenform ${}{\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}$ bzw. ${}{\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}dz^{-1}\wedge d\,{\overline {z^{-1}}}$ auf der affinen Standardüberdeckung ${}U$ bzw. auf ${}V$. Wegen

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}dz^{-1}\wedge d\,{\overline {z^{-1}}}&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\overline {dz^{-1}}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}\cdot {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{z^{2}{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\end{aligned}}$

stimmen die Flächenformen auf dem Durchschnitt überein, es handelt sich also um eine wohldefinierte positive Flächenform ${}\sigma$ auf der projektiven Geraden.

Wir verfolgen diese Form in der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

aus Satz 16.15. Auf den beiden offenen Mengen ist die Flächenform ${}\sigma$ die äußere Ableitung einer ${}1$-Form. Auf ${}U$ ist nach Aufgabe 1.15

$-{\frac {1}{z}}\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}dz$

ein Urbild und auf ${}V$ entsprechend

${}{\begin{aligned}-{\frac {1}{w}}\arctan {\left(w{\overline {w}}\right)}dw&=-z\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz^{-1}\\&={\frac {1}{z}}\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz.\end{aligned}}$

Aufgrund der Potenzreihenentwicklung sind diese ${}1$-Formen jeweils auf ${}U$ bzw. auf ${}V$ definiert. Die Differenz der beiden Formen ist unter Verwendung von Aufgabe 21.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gleich

${}{\frac {1}{z}}{\left(\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}+\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}\right)}dz={\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {dz}{z}}\,.$

In dieser Form beschreibt diese Differenz, aufgefasst als holomorphe Differentialform auf ${}U\cap V$ eine nichttriviale Kohomologieklasse in ${}H^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}})$.

Unter Verwendung von Aufgabe 74.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist

${}{\begin{aligned}\int _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\sigma &=\int _{U}{\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&=-2{\mathrm {i} }\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{1+{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}dx\wedge dy\\&=-{\mathrm {i} }\pi ^{2}.\end{aligned}}$

Das Residuum der zugehörigen Kohomologieklasse ist somit

${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(-{\mathrm {i} }\pi ^{2}\right)}=-{\frac {\pi }{2}}\,.$

Nach Lemma 18.15 gibt es auch die kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {M}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

mit der man ebenfalls die erste Kohomologie der holomorphen Differentialformen beschreiben kann. Auch in dieser Situation definieren wir das Residuum.

Definition

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen. Man nennt

${}\operatorname {Res} _{}\left(\tau \right):=\sum _{P\in X}\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right)\,$

das Residuum (oder Gesamtresiduum) von ${}\tau$.

Dabei ist ${}\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right)$ einfach der Koeffizient von ${}f$ zu ${}z^{-1}$, wenn die Hauptteilverteilung im Punkt ${}P$ durch die meromorphe Differentialform ${}fdz$ mit einem lokalen Parameter ${}z$ um ${}P$ beschrieben wird. Wir zeigen, dass die beiden Definitionen miteinander kompatibel sind.

Lemma

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen.

Dann ist

${}\operatorname {Res} _{}\left(\tau \right)=\operatorname {Res} _{}\left(\delta (\tau )\right)\,,$

wobei ${}\delta$ den verbindenden Homomorphismus zur kurzen exakten Garbensequenz aus Lemma 18.15 bezeichnet.

Beweis

Jede Hauptteilverteilung besitzt endlich viele Trägerpunkte. Da der verbindende Homomorphismus und die Residuenabbildung ${}{\mathbb {C} }$-linear sind, können wir davon ausgehen, das die Hauptteilverteilung in einem einzigen Punkt ${}P$ konzentriert ist. Die Hauptteilverteilung wird dann durch eine meromorphe Differentialform ${}\tau$ auf einer offenen Kreisscheibenumgebung ${}U$, wobei ${}\tau$ auf ${}U\setminus \{P\}$ holomorph sei, und durch die Nullform auf ${}V=X\setminus \{P\}$ repräsentiert. Der erste Čech-Kozykel in ${}\Omega _{X}$, also ${}\delta \tau$, wird dann durch die holomorphe Differentialform ${}\tau$ auf

${}U\cap V=U\setminus \{P\}\,$

repräsentiert. Für diesen gibt es wiederum ${}1$-Formen ${}\omega _{1}\in \Gamma {\left(U,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}\right)}$ und ${}\omega _{2}\in \Gamma {\left(V,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}\right)}$ mit

${}\tau =\omega _{1}-\omega _{2}\,$

auf ${}U\setminus \{P\}$. Da ${}\tau$ holomorph ist, ist

${}d\tau =0\,$

nach Satz 16.15. Somit legen diese ${}1$-Formen die ${}2$-Form ${}\sigma \in H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ fest, wobei lokal

${}d\omega _{1}=\sigma =d\omega _{2}\,$

gilt. Ferner gilt

${}\delta \tau =\delta \sigma \,$

in ${}H^{1}(X,\Omega _{X})$, wobei die beiden ${}\delta$ verbindende Homomorphismen zu unterschiedlichen Garbensequenzen bezeichnen. Nach der Definition des Residuums für eine holomorphe Kohomologieklasse muss man ${}\sigma$ über der Fläche intergrieren.

Es seien ${}P\in U'\subset U^{\prime \prime }\subset U$ offene Kreisumgebungen (in der Karte) mit unterschiedlichen Radien. Es sei ${}f$ eine reellwertige unendlich oft differenzierbare Funktion auf ${}X$, die auf ${}U'$ den konstanten Wert ${}1$ und außerhalb von ${}U^{\prime \prime }$ den konstanten Wert ${}0$ besitzt, was es nach Satz 25.3 gibt. Wir setzen ${}g:=1-f$. Die Form ${}g\omega _{2}$ ist auf ${}V$ definiert, da sie aber auf ${}U'$ den Wert ${}0$ hat, kann man sie zu einer globalen Form aus ${}{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}$ fortsetzen. Ferner besitzt ${}f\omega _{2}$ auf ${}U'\setminus \{P\}$ die Eigenschaft

${}d(f\omega _{2})=d\omega _{2}=d{\left(\omega _{1}-\tau \right)}=d\omega _{1}\,,$

da ${}\tau$ holomorph ist. Dies sichert, dass man die Form ${}d(f\omega _{2})$ als globale Form auffassen kann. Insgesamt gilt

${}\sigma =dg\omega _{2}+df\omega _{2}\,,$

wobei dies auf ${}V$ unmittelbar wegen ${}g+f=1$ gilt und auf ${}U'$ ebenso aufgrund der konstruierten Fortsetzungen. Nach dem Satz von Stokes (ohne Rand) ist

${}\int _{X}d(g\omega _{2})=0\,.$

Also ist unter Verwendung des Satzes von Stokes (mit Rand)

${}{\begin{aligned}\operatorname {Res} _{}\left(\delta (\tau )\right)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\sigma \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}dg\omega _{2}+df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}d{\left(f\omega _{1}-f\tau \right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f\omega _{1}-f\tau \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }-f\tau \\&=\operatorname {Res} _{P}\left(f\tau \right)\\&=\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right),\end{aligned}}$

wobei ${}\gamma$ eine einfache Umrundung mit dem Uhrzeigersinn von ${}P$ in ${}U\setminus U^{\prime \prime }$ ist und worauf ${}f\omega _{1}$ gleich ${}0$ ist.

$\Box$

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