Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 30/latex
\setcounter{section}{30}
\zwischenueberschrift{Serre-Dualität}
Im Beweis der Serre-Dualität orientieren wir uns stark an Forster und Möller.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Injektivität nach erster Kohomologie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und ${ \mathcal L }$ eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf $X$.}
\faktfolgerung {Dann ist die natürliche Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom} { \left( { \mathcal L } , \Omega_X \right) } } { \operatorname{Hom} { \left( H^1(X, { \mathcal L }), H^1 (X, \Omega_X) \right) }
} { \theta} { H^1(\theta)
} {,}
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Hier stehen links Modulgarbenhomomorphismen und rechts ${\mathbb C}$-lineare Abbildungen, die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta
}
{ \in }{ \operatorname{Hom} { \left( { \mathcal L } , \Omega_X \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht die Nullabbildung. Dann ist
\maabb {\theta} {{ \mathcal L } } { \Omega_X
} {}
injektiv, da beide Garben invertierbar sind. Es liegt somit eine kurze exakte Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal L } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, \Omega_X \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Omega_X /{ \mathcal L } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
vor, wobei die
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
\mathl{\Omega_X /{ \mathcal L }}{} nach
Lemma 28.1
einen diskreten Träger besitzt und ihre erste Kohomologie verschwindet. Es liegt somit die lange exakte Kohomologiesequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow H^0(X,{ \mathcal L }) \stackrel{H^0(\theta)}{\longrightarrow} H^0(X, \Omega_X ) \longrightarrow H^0(X, \Omega_X /{ \mathcal L }) \stackrel{\delta}{ \longrightarrow} H^1(X,{ \mathcal L }) \stackrel{ H^1(\theta)}{ \longrightarrow } H^1(X, \Omega_X) \longrightarrow 0} { }
vor. Daher ist $H^1(\theta)$ surjektiv und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H^1(X, \Omega_X)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist es nicht die Nullabbildung.
Wir wissen noch nicht, dass das Residuum eine Bijektion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H^1(X, \Omega_X)
}
{ \cong} { {\mathbb C}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert, nur, dass die Abbildung nichttrivial, also surjektiv ist. Wir werden von nun an die Dualität über das Residuum betrachten. Wir schreiben
\mathl{{ H^1(X, { \mathcal L } ) }^{ * }}{} für den Dualraum von
\mathl{H^1(X, { \mathcal L } )}{.} Die vorstehende Aussage gilt auch in dieser Situation.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Injektivität/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und ${ \mathcal L }$ eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf $X$.}
\faktfolgerung {Dann ist die natürliche Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom} { \left( { \mathcal L } , \Omega_X \right) } } { \operatorname{Hom} { \left( H^1(X, { \mathcal L }), {\mathbb C} \right) }
} { \theta} { \operatorname{Res}_{ } \left( H^1(\theta) \right)
} {,}
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Lemma 30.1.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Invertierbare Garben/Schnitt und Tensorierung/Duale Version/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und seien
\mathkor {} {{ \mathcal L }} {und} {{ \mathcal M }} {}
\definitionsverweis {invertierbare Garben}{}{}
auf $X$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal L } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichttrivialer Schnitt.}
\faktfolgerung {Dann ist die natürliche Abbildung
\maabbdisp {} { { \left( H^1(X, { \mathcal M } \otimes { \mathcal L } ) \right) }^{ * } } { { \left( H^1(X, { \mathcal M } ) \right) }^{ * }
} {}
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der Schnitt führt zu einem injektiven Garbenhomomorphismus \maabb {} { {\mathcal O}_{ X } } { { \mathcal L } } {} und durch Tensorierung zu einem injektiven Homomorphismus \maabb {} { { \mathcal M } } { { \mathcal M } \otimes { \mathcal L } } {.} Nach Lemma 28.1 ist \maabbdisp {} { H^1(X, { \mathcal M } )} { H^1(X, { \mathcal M } \otimes { \mathcal L } ) } {} surjektiv und daher ist die duale Abbildung injektiv.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Dualitätsdiagramm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D'
}
{ \leq }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Divisoren}{}{}
auf $X$. Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kanonischer Divisor}{}{}
von $X$.}
\faktfolgerung {Dann liegt ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D) ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & { H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D) ) }^{ * } & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D') ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & { H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D') ) }^{ * } & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, wobei alle Abbildungen injektiv sind. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D) )
}
{ =} { H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D') ) \cap { H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D) ) }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Links steht die zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K-D
}
{ \leq} {K-D'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehörende Einbettung der zugehörigen invertierbaren Garben, siehe
Lemma 20.16.
Rechts steht die injektive duale Abbildung zur surjektiven Abbildung
\maabbdisp {} {H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D') )} { H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D) )
} {,}
die wiederum zur Einbettung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{ X } (D')
}
{ \subseteq} { {\mathcal O}_{ X } (D)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehört. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{ X } (K-D)
}
{ \cong} { \Omega_X \otimes {\mathcal O}_{ X } (-D)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ein globaler Schnitt in dieser Garbe ist das gleiche wie ein Modulhomomorphismus
\maabbdisp {} { {\mathcal O}_{ X } } { \Omega_X \otimes {\mathcal O}_{ X } (-D)
} {}
was wiederum das gleiche wie ein Homomorphismus
\maabbdisp {} { {\mathcal O}_{ X } (D) } { \Omega_X
} {}
ist. Daher folgt die Injektivität der horizontalen Abbildungen aus
Korollar 30.2.
Es sei nun eine Linearform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda'
}
{ \in }{ { H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D') ) }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, das einerseits von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D) )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u'
}
{ \in }{ H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D') )
}
{ = }{ \operatorname{Hom} { \left( {\mathcal O}_{ X } (D') , \Omega_X \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
herrührt. Wir müssen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u'
}
{ \in }{ H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D) )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen. Nehmen wir an, dass das nicht gilt. Dann gibt es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Ordnung von $u'$ in $P$ echt kleiner als die Ordnung von $K-D$ in $P$ ist. Um einen Widerspruch zu erreichen, konstruieren wir eine Kohomologieklasse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c'
}
{ \in }{ H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D') )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die unter $\lambda$, also unter
\mathdisp {H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D') ) \longrightarrow H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D) ) \stackrel{\lambda}{\longrightarrow} {\mathbb C}} { , }
und unter $H^1 ( u' )$ einen unterschiedlichen Wert hat.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Kreisscheibenumgebung derart, dass auf $U \setminus \{P\}$ die Divisoren $D,D',K, \operatorname{div} { \left( u' \right) }$ trivial sind.
Der folgende Satz beschreibt die sogenannte \stichwort {Serre-Dualität} {.}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und ${ \mathcal L }$ eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf $X$.}
\faktfolgerung {Dann definiert die natürliche Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom} { \left( { \mathcal L } , \Omega_X \right) } \times H^1(X, { \mathcal L }) } { {\mathbb C}
} { ( \theta,c)} { \operatorname{Res}_{ } \left( H^1(\theta)(c) \right)
} {,}
eine
\definitionsverweis {vollständige Dualität}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal L }
}
{ = }{ {\mathcal O}_{ X } (D)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Divisor $D$. Es sei $g$ das
\definitionsverweis {Geschlecht}{}{}
von $X$ und es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kanonischer Divisor}{}{.}
Wegen
Korollar 30.2
genügt es zu zeigen, dass
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom} { \left( {\mathcal O}_{ X } (D), \Omega_X \right) } \cong H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D) ) } { \operatorname{Hom} { \left( H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D)), {\mathbb C} \right) } \cong { \left( H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D)) \right) }^{ * }
} { \theta} { \operatorname{Res}_{ } \left( H^1(\theta) \right)
} {,}
auch
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist. Es sei dazu
\maabbdisp {\lambda} { H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D) ) } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
$\neq 0$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt, wir betrachten die Divisoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_n
}
{ = }{ D-nP
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei zunächst $n$ fixiert. Ein globaler Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } (nP) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert durch Tensorierung
\zusatzklammer {siehe
Lemma 30.3} {} {}
mit ${\mathcal O}_{ X } (D_n)$ einen Homomorphismus
\maabbdisp {} { {\mathcal O}_{ X } (D_n)} { {\mathcal O}_{ X } (D_n) \otimes {\mathcal O}_{ X } (nP) \cong {\mathcal O}_{ X } (D)
} {}
und damit via
\mathdisp {H^1 (X,{\mathcal O}_{ X } (D_n) ) \stackrel{H^1(s)}{\longrightarrow} H^1 (X,{\mathcal O}_{ X } (D) ) \stackrel{\lambda}{ \longrightarrow} {\mathbb C}} { }
eine Linearform auf
\mathl{H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D_n) )}{,} die wir mit $s \lambda$ bezeichnen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Lambda_n
}
{ =} { { \left\{ s \lambda \mid s \in \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } (nP) \right) } \right\} }
}
{ \subseteq} { { \left( H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D_n) ) \right) }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
Lemma 30.3
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s \lambda
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist die Gesamtzuordnung
\maabbdisp {} { \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } ( n P ) \right) } } { { \left( H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D_n) ) \right) }^{ * }
} {}
injektiv. Insbesondere haben
\mathkor {} {\Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } ( n P ) \right) }} {und} {\Lambda_n} {}
die gleiche Dimension. Daher haben wir nach
Korollar 28.5
die Dimensionsabschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ {\mathbb C} } { \left( \Lambda_n \right) }
}
{ \geq} { n+1-g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Neben $\Lambda_n$ betrachten wir einen weiteren Untervektorraum von
\mathl{{ \left( H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D_n) ) \right) }^{ * }}{,} nämlich das natürliche Bild
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ B_n
}
{ =} { \operatorname{bild} { \left( H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D_n) ) \longrightarrow { \left( H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D_n) ) \right) }^{ * } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dessen Dimension stimmt nach
Korollar 30.2
mit der Dimension von
\mathl{H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D_n) )}{} überein und kann nach
Lemma 28.6
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ { \mathcal M }
}
{ = }{ {\mathcal O}_{ X } (K-D)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ { \mathcal L }
}
{ = }{ {\mathcal O}_{ X } (nP)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D_n) ) \right) }
}
{ \geq} { n +c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein von
\mathkor {} {D} {und} {K} {}
abhängiges $c$ abgeschätzt werden. Ferner ist für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ >} { \operatorname{Grad} \, (D)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Grad von $D_n$ negativ und somit besitzt für diese $D_n$ keine globalen Schnitte nach
Lemma 28.3.
Nach
Satz 28.4
ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^1 ( X, {\mathcal O}_{ X } (D_n))
}
{ =} { g-1 - \operatorname{Grad} \, ( D_n )
}
{ =} { n +g-1 - \operatorname{Grad} \, ( D )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Zahl $n$ geht also in alle drei relevanten Dimensionen einfach linear ein. Für $n$ hinreichend groß übertrifft also die Summe der Dimensionen von
\mathkor {} {\Lambda_n} {und von} {B_n} {}
die Dimension des umgebenden Raumes. Es sei nun ein solches $n$ gewählt. Nach
Korollar 9.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Lambda_n \cap B_n
}
{ \neq} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ein nichttriviales Element darin hat einerseits eine Darstellung als
\mathl{s \lambda}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X }(nP) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits als Bild von einem Element $\omega$ aus
\mathl{H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D_n) )}{.} Es gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s \lambda
}
{ =} { \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X }(nP) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( s \right) }
}
{ \geq }{ -nP
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ -nP - \operatorname{div} { \left( s \right) }
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D'
}
{ \defeq} {D_n- \operatorname{div} { \left( s \right) }
}
{ =} {D- nP - \operatorname{div} { \left( s \right) }
}
{ \leq} {D
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D) ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & { H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D) ) }^{ * } & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D') ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & { H^1(X, {\mathcal O}_{ X } (D') ) }^{ * } & \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
wobei alle Abbildungen injektiv sind. Wir fassen das $\lambda$ von rechts oben rechts unten auf. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in }{H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D_n) )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \omega }{ s } }
}
{ \in }{ H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D_n+ \operatorname{div} { \left( s \right) } ) )
}
{ = }{ H^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K-D' ) )
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei gilt rechts unten die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \omega }{ s } }
}
{ = }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 30.4
rührt damit $\lambda$ von oben links her.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Serre-Dualität/Holomorphe Differentialformen/Eindimensionale Kohomologie/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{H^1(X, \Omega_X)}{} eindimensional und die Residuenabbildung ist bijektiv.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Satz 30.5,
wenn man dort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal L }
}
{ = }{ \Omega_X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt.
Mit diesem Wissen kann man die Serre-Dualität allein mit $H^1(X, \Omega_X)$ und auch ohne die Residuenabbildung formulieren.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Serre-Dualität/Holomorphe Differentialformen und Strukturkohomologie/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die Vektorräume
\mathkor {} {H^0(X, \Omega_X)} {und} {H^1(X, {\mathcal O}_{ X } )} {}
in natürlicher Weise dual zueinander.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Satz 30.5
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal L }
}
{ = }{ {\mathcal O}_{ X }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter Verwendung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom} { \left( {\mathcal O}_{ X } , \Omega_X \right) }
}
{ =} { H^0(X, \Omega_X)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputbemerkung
{}
{
Die bijektive Zuordnung
\maabbeledisp {} { H^1(X, {\mathcal O}_{ X }) } { { H^0(X,\Omega) }^{ * }
} { c } { { \left( \omega \mapsto \operatorname{Res}_{ } \left( H^1(\omega) (c) \right) \right) }
} {,}
aus
Korollar 30.7
ist so zu verstehen. Eine globale Differentialform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in }{ H^0(X,\Omega)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert einen
\zusatzklammer {ebenfalls mit $\omega$ bezeichneten} {} {}
Garbenhomomorphismus
\maabbeledisp {} { {\mathcal O}_{ X } } { \Omega_X
} { 1 } { \omega
} {,}
und dazu die erste Kohomologieabbildung
\maabbeledisp {} { H^1(X, {\mathcal O}_{ X } ) } { H^1(X, \Omega_X)
} { c } { H^1( \omega) (c)
} {.}
Die Auswertung mit dem Residuum ergibt dann den Wert in ${\mathbb C}$. Der rechnerische Aufwand hängt wesentlich davon ab, in welcher Form die Kohomologieklasse vorliegt. Wenn $c$ Čech-kohomologisch als
\mathl{U_i, h_{ij}}{} vorliegt, so erhält man bei gegebenem $\omega$ eine entsprechende Darstellung
\mathl{U_i, h_{ij} \omega}{.} Wenn $c$ als Klasse zu einer Hauptteilverteilung $(\tau_P)_P$ vorliegt, so gehört dazu direkt die Hauptteilverteilung von holomorphen Differentialformen $(\tau_P \omega)_P$ und dazu wiederum die Residuenauswertung im Sinne der
Definition 29.2.
}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Geschlecht/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann stimmt das
\definitionsverweis {kohomologische Geschlecht}{}{}
von $X$ mit dem
\definitionsverweis {differentiellen Geschlecht}{}{}
von $X$ überein.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Korollar 30.7.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Kompakt/Kanonische Garbe/Grad/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Geschlecht}{}{}
$g$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt ein
\definitionsverweis {kanonischer Divisor}{}{}
den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$2g-2$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der Satz von Riemann-Roch
ergibt für einen kanonischen Divisor $K$ wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{ X } ( K )
}
{ = }{ \Omega_X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter Verwendung von
Korollar 30.7
die Gleichheit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ g-1
}
{ =} { h^0(X, \Omega_X ) - h^1(X, \Omega_X )
}
{ =} { h^0(X, {\mathcal O}_{ X } (K)) - h^1(X, {\mathcal O}_{ X } (K) )
}
{ =} { \operatorname{Grad} \, ( K ) +1 -g
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Grad} \, ( K )
}
{ =} { 2g-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}