Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 13

Kähler-Differentiale und Jacobi-Matrix

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}I\subseteq A$ ein Ideal mit dem Restklassenring ${}B=A/I$.

Dann ist die Sequenz

$I/I^{2}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\longrightarrow \Omega _{B{|}R}\longrightarrow 0$

von ${}B$-Moduln exakt.

Dabei geht ${}a\in I$ auf ${}da\otimes 1$ und ${}da\otimes b$ auf ${}bda$.

Beweis

Die ${}R$-lineare Abbildung

$A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto da,$

kann man auf das Ideal ${}I\subseteq A$ einschränken. Durch Tensorieren mit ${}A/I$ erhält man unter Verwendung von Proposition Anhang 6.9  (2) die ${}A/I$-lineare Abbildung

$I/I^{2}\cong I\otimes _{A}A/I\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}A/I.$

Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der ${}B$- Modul ${}\Omega _{B{|}R}$ von den ${}db$, ${}b\in B$, erzeugt wird und diese von ${}da$, ${}a\in A$ herrühren. Ein Element ${}a\in I$ geht auf ${}da$ und damit auf ${}0$ in ${}\Omega _{B{|}R}$, da das Element ${}a$ in ${}B$ selbst ${}0$ wird.

Es sei nun

${}\omega \in \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\,$

ein Element, das in ${}\Omega _{B{|}R}$ auf ${}0$ abbildet. Wir können

${}\omega =\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes b_{i}=\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes {\overline {c}}_{i}\,$

mit ${}a_{i},c_{i}\in A$ schreiben. Da es auf ${}0$ in ${}\Omega _{B{|}R}$ abbildet, gilt in dem von den Symbolden ${}db$, ${}b\in B$, erzeugten freien ${}B$- Modul die Beziehung

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}\,,$

wobei ${}h_{j}\in B$ und die ${}\omega _{j}$ Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich ${}dfg=fdg+gdf$ mit ${}f,g\in B$ oder gleich ${}d(rf+sg)=rdf+sdg$ mit ${}r,s\in R$ und ${}f,g\in B$ ist. Der angesprochene freie ${}B$-Modul entsteht aus dem durch die ${}da$, ${}a\in A$, erzeugten freien ${}A$-Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus ${}I$ und die ${}dI$ zu ${}0$ macht. Somit gilt in diesem freien ${}A$-Modul

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}-\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}=\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}+du\,$

mit ${}m_{k}\in I$, ${}n_{k}\in B$ und ${}u\in I$. In ${}\Omega _{A{|}R}\otimes _{R}B$ wird ${}\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}$ wegen der Tensorierung zu ${}0$ und daher gilt dort in der Tat

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=du\,.$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}A$ eine kommutative endlich erzeugte ${}R$- Algebra, die als

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})\,$

gegeben sei.

Dann ist

${}\Omega _{A{|}R}=\bigoplus _{i=1}^{n}AdX_{i}/(dF_{1},\ldots ,dF_{k})\,.$

Beweis

Dies folgt aus Lemma 12.5 und Lemma 13.1.

$\Box$

Bemerkung  

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}A$ eine kommutative endlich erzeugte ${}R$- Algebra, die als ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$ gegeben sei. Dann ist nach Lemma 12.4  (4)

${}dF_{j}={\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}dX_{n}\,$

und nach Korollar 13.2 gibt es eine exakte Sequenz

$A^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\longrightarrow 0,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}\,$

die transponierte Jacobi-Matrix (ohne Auswertung an einem Punkt) ist. Die Standardvektoren ${}e_{j}$ werden auf ${}dX_{j}$ abgebildet und die Spaltenvektoren ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}$, die die Nullelemente ${}dF_{j}$ repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.

Zu einer ${}K$- Algebra

${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\,$

und einem Punkt ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})$ mit zugehörigem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq A$ und Lokalisierung

${}R=A_{{\mathfrak {m}}_{P}}={\mathcal {O}}_{V,P}\,$

ist

${}\Omega _{R{|}K}=\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}R\,,$

und die Tensorierung

${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}K=\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\,$

zur Restekörperauswertung

$A\longrightarrow A_{\mathfrak {m}}\longrightarrow A_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}A_{\mathfrak {m}}=K$

spielt eine besondere Rolle. Es ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Dualraum des extrinsischen Tangentialraumes von ${}V$ an ${}P$. Das bedeutet, dass ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}K$ in natürlicher Weise der Kotangentialraum im Punkt ${}P$ ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper,

${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\,$

eine endlich erzeugte ${}K$- Algebra und ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})$ ein Punkt des zugehörigen Nullstellengebildes mit zugehörigem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq A$ und Lokalisierung

${}R=A_{\mathfrak {m}}\,.$

Dann ist der Tangentialraum zu ${}V$ in ${}P$ in kanonischer Weise der duale Vektorraum zu ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}K$.

Beweis

Nach Bemerkung 12.9 gibt es eine exakte Sequenz

$A^{m}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\longrightarrow 0,$

wobei ${}M$ die transponierte Jacobi-Matrix zu den ${}f_{i}$ ist. Wir tensorieren mit dem Restekörper ${}K$ und erhalten eine exakte Sequenz

$K^{m}{\stackrel {M(P)}{\longrightarrow }}K^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\longrightarrow 0$

von endlichdimensionalen ${}K$- Vektorräumen. Die duale Sequenz dazu ist

$0\longrightarrow {\left(\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\right)}^{*}\longrightarrow K^{n}{\stackrel {\operatorname {Jac} (P)}{\longrightarrow }}K^{m}$

und ebenfalls exakt. Nach Definition 3.18 ist aber der Kern der Jacobi-Matrix im Punkt ${}P$ der Tangentialraum an ${}V$ in ${}P$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine lokale kommutative ${}K$- Algebra und es sei die Gesamtabbildung

$K\longrightarrow R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}$

ein Isomorphismus.

Dann ist die Abbildung

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto df\otimes 1,$

ein ${}R/{\mathfrak {m}}$- Modulisomorphismus.

Beweis

Nach Lemma 13.1 liegt eine exakte Sequenz

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow \Omega _{R/{\mathfrak {m}}{|}K}\longrightarrow 0$

von ${}R/{\mathfrak {m}}$- Modulhomomorphismen vor. Nach Voraussetzung ist ${}R/{\mathfrak {m}}=K$ und daher ${}\Omega _{R/{\mathfrak {m}}{|}K}=0$. Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die ${}R/{\mathfrak {m}}$- duale Abbildung, also die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{R/{\mathfrak {m}}}{\left(\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},R/{\mathfrak {m}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R/{\mathfrak {m}}}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},R/{\mathfrak {m}}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ d,$

und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist (es geht um Vektorräume).

Der linke Homomorphismenmodul ist nach Lemma Anhang E.11. und Lemma 12.3 isomorph zu

${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(\Omega _{R{|}K},R/{\mathfrak {m}}\right)}\cong \operatorname {Der} _{K}{\left(R,R/{\mathfrak {m}}\right)}\,.$

Die Gesamtabbildung ordnet einer ${}K$-Derivation ${}\delta \colon R\rightarrow R/{\mathfrak {m}}$ die Abbildung

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto \delta (f),$

zu. Es sei nun

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto \epsilon (f),$

ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung

$\delta \colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,f\longmapsto \epsilon (f-{\overline {f}}),$

wobei ${}{\overline {f}}$ den Wert von ${}f$ im Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ bezeichnet, den man über die Identifizierung ${}K=R/{\mathfrak {m}}$ wieder in ${}R$ auffasst. Somit gehört ${}f-{\overline {f}}\in {\mathfrak {m}}$ und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu Satz 23.2 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf ${}\epsilon$ ab.

$\Box$

Bemerkung  

In der Situation von Lemma 13.4 kann man direkt eine Beziehung zwischen dem (extrinsischen) Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu ${}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$ stiften. Es sei

${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in T_{P}V=\operatorname {kern} \left(\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}\right)\,.$

Dies definiert eine Abbildung

${\mathfrak {m}}_{P}\longrightarrow K,\,g\longmapsto (dg)_{P}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=v_{1}\partial _{1}g(P)+\cdots +v_{n}\partial _{n}g(P),$

dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion ${}g$ die Auswertung in ${}P$ ihrer Richtungsableitung in Richtung ${}v$ zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal ${}(f_{1},\ldots ,f_{m})$ auf ${}0$ abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei ${}{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$ auf ${}0$ abgebildet und es ergibt sich eine ${}K$- lineare Abbildung

${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}\longrightarrow K.$

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