Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 13

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Kähler-Differentiale und Jacobi-Matrix



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, es sei eine kommutative -Algebra und ein Ideal mit dem Restklassenring .

Dann ist die Sequenz

von -Moduln exakt.

Dabei geht auf und auf .

Beweis  

Die -lineare Abbildung

kann man auf das Ideal einschränken. Durch Tensorieren mit erhält man unter Verwendung von Proposition Anhang 6.9  (2) die -lineare Abbildung

Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der -Modul von den , , erzeugt wird und diese von , herrühren. Ein Element geht auf und damit auf in , da das Element in selbst wird.

Es sei nun

ein Element, das in auf abbildet. Wir können

mit schreiben. Da es auf in abbildet, gilt in dem von den Symbolden , , erzeugten freien -Modul die Beziehung

wobei und die Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich mit oder gleich mit und ist. Der angesprochene freie -Modul entsteht aus dem durch die , , erzeugten freien -Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus und die zu macht. Somit gilt in diesem freien -Modul

mit , und . In wird wegen der Tensorierung zu und daher gilt dort in der Tat




Korollar  

Es sei ein kommutativer Ring und es sei eine kommutative endlich erzeugte -Algebra, die als

gegeben sei.

Dann ist

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 12.5 und Lemma 13.1.


Bemerkung  

Es sei ein kommutativer Ring und es sei eine kommutative endlich erzeugte -Algebra, die als gegeben sei. Dann ist nach Lemma 12.4  (4)

und nach Korollar 13.2 gibt es eine exakte Sequenz

wobei

die transponierte Jacobi-Matrix (ohne Auswertung an einem Punkt) ist. Die Standardvektoren werden auf abgebildet und die Spaltenvektoren , die die Nullelemente repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.


Zu einer -Algebra

und einem Punkt mit zugehörigem maximalen Ideal und Lokalisierung

ist

und die Tensorierung

zur Restekörperauswertung

spielt eine besondere Rolle. Es ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Dualraum des extrinsischen Tangentialraumes von an . Das bedeutet, dass in natürlicher Weise der Kotangentialraum im Punkt ist.



Lemma  

Es sei ein Körper,

eine endlich erzeugte -Algebra und ein Punkt des zugehörigen Nullstellengebildes mit zugehörigem maximalen Ideal und Lokalisierung

Dann ist der Tangentialraum zu in in kanonischer Weise der duale Vektorraum zu .

Beweis  

Nach Bemerkung 12.9 gibt es eine exakte Sequenz

wobei die transponierte Jacobi-Matrix zu den ist. Wir tensorieren mit dem Restekörper und erhalten eine exakte Sequenz

von endlichdimensionalen -Vektorräumen. Die duale Sequenz dazu ist

und ebenfalls exakt. Nach Definition 3.18 ist aber der Kern der Jacobi-Matrix im Punkt der Tangentialraum an in .




Lemma  

Es sei ein Körper und eine lokale kommutative -Algebra und es sei die Gesamtabbildung

ein Isomorphismus.

Dann ist die Abbildung

ein -Modulisomorphismus.

Beweis  

Nach Lemma 13.1 liegt eine exakte Sequenz

von -Modulhomomorphismen vor. Nach Voraussetzung ist und daher . Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die -duale Abbildung, also die Abbildung

und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist (es geht um Vektorräume).

Der linke Homomorphismenmodul ist nach Lemma Anhang E.11. und Lemma 12.3 isomorph zu

Die Geasmtabbildung ordnet einer -Derivation die Abbildung

zu. Es sei nun

ein -Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung

wobei den Wert von im Restklassenkörper bezeichnet, den man über die Identifizierung wieder in auffasst. Somit gehört und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu Satz 23.2 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf ab.


Bemerkung  

In der Situation von Lemma 13.4 kann man direkt eine Beziehung zwischen dem (extrinsischen) Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu stiften. Es sei

Dies definiert eine Abbildung

dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion die Auswertung in ihrer Richtungsableitung in Richtung zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal auf abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei auf abgebildet und es ergibt sich eine -lineare Abbildung


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