Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 14

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Aufgabe

Es sei ein Körper und ein Polynom. Zeige, dass ein Punkt genau dann ein kritischer Punkt von ist, wenn das maximale Ideal das Jacobiideal umfasst.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein Polynom. Bringe die Begriffe kritischer Punkt von , Nullstelle der Ableitung und maximales Ideal oberhalb des Jacobiideals miteinander in Verbindung.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein Polynom. Es sei eine Nullstelle von . Zeige, dass die Vielfachheit der Nullstelle um größer als die Milnorzahl von in ist.


Aufgabe

Bestimme die Milnorzahl für die Kurven im Nullpunkt.


Aufgabe

Bestimme die Milnorzahl für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten.


Aufgabe

Es sei ein Körper mit einer Charakteristik . Es sei ein Polynom. Zeige, dass die Milnorzahl von im Nullpunkt mit der Milnorzahl des Polynoms im Nullpunkt übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein Polynom in den Variablen und ein Polynom in den Variablen . Wir interessieren uns für die Summe (in den Variablen ).

  1. Sowohl als auch definieren eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zeige, dass auch eine isolierte Singularität im Nullpunkt definiert.
  2. Zeige, dass die Milnorzahl von (im Nullpunkt) das Produkt der Milnorzahlen der beiden Polynome und ist.


Aufgabe

Zeige, dass

die Voraussetzung von Lemma 14.13 erfüllt, und dass daher in gilt, dass dies aber nicht in gilt.


Aufgabe

Es sei ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring . Es sei die Lokalisierung von an und es sei das maximale Ideal von . Zeige .


Aufgabe

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

in jedem Punkt.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hesse-Form von in jedem Punkt symmetrisch ist.


Aufgabe *

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen mit eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ besitzt.


Aufgabe

Berechne die Hesse-Matrix zu im Nullpunkt.


Aufgabe

Berechne die Hesse-Matrix zu den zweidimensionalen ADE-Singularitäten im Nullpunkt.


Aufgabe

Es sei ein reelles Polynom und ein kritischer Punkt. Beweise Lemma 14.14 mit Hilfe von Satz 39.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)), angewendet auf die Hesse-Matrix von .



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