Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 14

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $F\in K[X_1,\dots ,X_n]$  ein Polynom. Zeige, dass ein Punkt  $P\in K^n$  genau dann ein kritischer Punkt von $F$ ist, wenn das maximale Ideal ${𝔪}_P$ das Jacobiideal $J_F$ umfasst.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $F\in K[X]$  und  $a\in K$.  Zeige, dass $a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von $F$ ist, wenn  $F^{\prime }(a)=0$  ist, wobei $F^{\prime }$ die formale Ableitung von $F$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $F\in K[X]$  ein Polynom. Bringe die Begriffe kritischer Punkt von $F$, Nullstelle der Ableitung $F^{\prime }$ und maximales Ideal oberhalb des Jacobiideals $J_F$ miteinander in Verbindung.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $F\in K[X]$  ein Polynom. Es sei $P$ eine Nullstelle von $F$. Zeige, dass die Vielfachheit der Nullstelle um $1$ größer als die Milnorzahl von $F$ in $P$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Milnorzahl für die Kurven $V(X^a-Y^b)$ im Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme die Milnorzahl für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\ne 2$. Es sei  $F\in K[X_1,\dots ,X_n]$  ein Polynom. Zeige, dass die Milnorzahl von $F$ im Nullpunkt mit der Milnorzahl des Polynoms  $F+Z^2\in K[X_1,\dots ,X_n,Z]$  im Nullpunkt übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $F$ ein Polynom in den Variablen $X_1,\dots ,X_m$ und $G$ ein Polynom in den Variablen $Y_1,\dots ,Y_n$. Wir interessieren uns für die Summe $F+G$ (in den Variablen $X_1,\dots ,X_m,Y_1,\dots ,Y_n$).

1. Sowohl $F$ als auch $G$ definieren eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zeige, dass auch $F+G$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt definiert.
2. Zeige, dass die Milnorzahl von $F+G$ (im Nullpunkt) das Produkt der Milnorzahlen der beiden Polynome $F$ und $G$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass

$g=X+X^2\in K[X]$

die Voraussetzung von Lemma 14.13 erfüllt, und dass daher  $(g)=(X)$  in $K[X{]}_{(X)}$ gilt, dass dies aber nicht in $K[X]$ gilt.

Aufgabe

Es sei $𝔫$ ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring $R$. Es sei $R_{𝔫}$ die Lokalisierung von $R$ an $𝔫$ und es sei  $𝔪=𝔫R_{𝔫}$  das maximale Ideal von $R_{𝔫}$. Zeige  $R/𝔫=R_{𝔫}/𝔪$. 

Aufgabe

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x^{2}y-x{y}^2+x^2-y^3,$

in jedem Punkt.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  $G\subseteq V$  eine offene Menge und

$f:G⟶ℝ$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hesse-Form von $f$ in jedem Punkt  $P\in G$  symmetrisch ist.

Aufgabe *

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen $p,q,n$ mit  $p+q\le n$  eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

$f:{ℝ}^n⟶ℝ,$

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ $(p,q)$ besitzt.

Aufgabe

Berechne die Hesse-Matrix zu  $F=X^a+Y^b+Z^c$  im Nullpunkt.

Aufgabe

Berechne die Hesse-Matrix zu den zweidimensionalen ADE-Singularitäten im Nullpunkt.

Aufgabe

Es sei  $F\in ℝ[X_1,\dots ,X_n]$  ein reelles Polynom und  $P\in {ℝ}^n$  ein kritischer Punkt. Beweise Lemma 14.14 mithilfe von Satz 39.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)), angewendet auf die Hesse-Matrix von $F$.