Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 14

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein Polynom. Zeige, dass ein Punkt  ${}P\in K^{n}$  genau dann ein kritischer Punkt von ${}F$ ist, wenn das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ das Jacobiideal ${}J_{F}$ umfasst.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei  ${}F\in K[X]$  und  ${}a\in K$.  Zeige, dass ${}a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${}F$ ist, wenn  ${}F'(a)=0$  ist, wobei ${}F'$ die formale Ableitung von ${}F$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}F\in K[X]$  ein Polynom. Bringe die Begriffe kritischer Punkt von ${}F$, Nullstelle der Ableitung ${}F'$ und maximales Ideal oberhalb des Jacobiideals ${}J_{F}$ miteinander in Verbindung.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}F\in K[X]$  ein Polynom. Es sei ${}P$ eine Nullstelle von ${}F$. Zeige, dass die Vielfachheit der Nullstelle um ${}1$ größer als die Milnorzahl von ${}F$ in ${}P$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Milnorzahl für die Kurven ${}V{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ im Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme die Milnorzahl für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$. Es sei  ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein Polynom. Zeige, dass die Milnorzahl von ${}F$ im Nullpunkt mit der Milnorzahl des Polynoms  ${}F+Z^{2}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$  im Nullpunkt übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}F$ ein Polynom in den Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{m}$ und ${}G$ ein Polynom in den Variablen ${}Y_{1},\ldots ,Y_{n}$. Wir interessieren uns für die Summe ${}F+G$ (in den Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}$).

1. Sowohl ${}F$ als auch ${}G$ definieren eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zeige, dass auch ${}F+G$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt definiert.
2. Zeige, dass die Milnorzahl von ${}F+G$ (im Nullpunkt) das Produkt der Milnorzahlen der beiden Polynome ${}F$ und ${}G$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass

${}g=X+X^{2}\in K[X]\,$

die Voraussetzung von Lemma 14.13 erfüllt, und dass daher  ${}(g)=(X)$  in ${}K[X]_{(X)}$ gilt, dass dies aber nicht in ${}K[X]$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Es sei ${}R_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {n}}$ und es sei  ${}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}$  das maximale Ideal von ${}R_{\mathfrak {n}}$. Zeige  ${}R/{\mathfrak {n}}=R_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}$. 

Aufgabe

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-xy^{2}+x^{2}-y^{3},$

in jedem Punkt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}G\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hesse-Form von ${}f$ in jedem Punkt  ${}P\in G$  symmetrisch ist.

Aufgabe *

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen ${}p,q,n$ mit  ${}p+q\leq n$  eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ ${}(p,q)$ besitzt.

Aufgabe

Berechne die Hesse-Matrix zu  ${}F=X^{a}+Y^{b}+Z^{c}$  im Nullpunkt.

Aufgabe

Berechne die Hesse-Matrix zu den zweidimensionalen ADE-Singularitäten im Nullpunkt.

Aufgabe

Es sei  ${}F\in \mathbb {R} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein reelles Polynom und  ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$  ein kritischer Punkt. Beweise Lemma 14.14 mit Hilfe von Satz 39.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)), angewendet auf die Hesse-Matrix von ${}F$.