Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Arbeitsblatt 2/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere ein Teilerdiagramm (also ein Diagramm, in dem die Teilerbeziehung durch Pfeile ausgedrückt wird) für die Zahlen $25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $1728$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen

$11,111,1111,11111,111111.$

(Vergleiche hierzu auch Aufgabe 3.21.)

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde die kleinste Zahl $N$ der Form  $N=p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_r+1$,  die keine Primzahl ist, wobei $p_1,p_2,\dots ,p_r$ die ersten $r$ Primzahlen sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  $r\in \mathbb{N}$. 

a) Finde $r$ aufeinander folgende natürliche Zahlen (also $n,n+1,\dots ,n+r-1$), die alle nicht prim sind.

b) Finde unendlich viele solcher primfreien $r$-„Intervalle“.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.10 hilfreich.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $a$ eine natürliche Zahl und es sei

$a=\sum _{i=0}^{\ell }{a}_{i}10^i$

die Darstellung von $a$ im Dezimalsystem. Zeige, dass $a$ von $3$ genau dann geteilt wird, wenn die Quersumme $\sum _{i=0}^{\ell }{a}_i$ von $3$ geteilt wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde eine Darstellung der $1$ für die folgenden Zahlenpaare: $5$ und $7$; $20$ und $27$; $23$ und $157$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen, deren Produkt $ab$ von einer natürlichen Zahl $n$ geteilt werde. Die Zahlen $n$ und $a$ seien teilerfremd. Zeige, dass $b$ von $n$ geteilt wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien $r$ und $s$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung $(x,y)$ der Gleichung

$rx+sy=0$

die Gestalt  $(x,y)=v(s,-r)$  mit einer eindeutig bestimmten Zahl $v$ besitzt.

Aufgabe Aufgabe 2.10 ändern

Es seien $a$ und $d$ teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz $a^i$ mit  $i\ge 1$  gibt, deren Rest bei Division durch $d$ gleich $1$ ist.

Tipp: Verwende Aufgabe 1.11 und betrachte den Rest von $a^j-a^i$ bei Division durch $d$.

Die folgende Aufgabe zeigt, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  $M\subseteq {\mathbb{N}}_{+}$  diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch $4$ den Rest $1$ besitzen, also  $M=\{1,5,9,13,17,\dots \}$.  Zeige, dass man $441$ innerhalb von $M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in $M$ nicht weiter zerlegbar sind.

Aufgabe Aufgabe 1.12 ändern

Zeige, dass es außer $3,5,7$ kein weiteres Zahlentripel der Form $p,p+2,p+4$ gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien $a$ und $n$ natürliche Zahlen mit  $n\ge 2$.  Es sei

$a=\sum _{i=0}^{\ell }{a}_i{n}^i$

die Darstellung von $a$ zur Basis $n$ (also mit $0\le a_i<n$). Es sei $k$ ein Teiler von $n-1$. Dann wird $a$ von $k$ genau dann geteilt, wenn die Quersumme $\sum _{i=0}^{\ell }{a}_i$ von $k$ geteilt wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte im $15$er System mit den Ziffern $0,1,\dots ,8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl

$EA09B4CA.$

Ist diese Zahl durch $7$ teilbar?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung $78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung $126$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen $-123,55$ und $-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position $17$ bzw. $109$. Welche Flöhe können sich treffen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine digitale Uhr, die $24$ Stunden, $60$ Minuten und $60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer $11$ Stunden, $11$ Minuten und $11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?