Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 23

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Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Es sei , wobei die , , alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: ist normal.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei quadratfrei und . Finde in ein Primideal derart, dass die Lokalisierung an kein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Hauptdivisor zur Gaußschen Zahl .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Betrachte in die Zerlegung

Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisoren zu diesen Elementen.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich und , . Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die Hauptdivisoren und genau dann gleich sind, wenn und assoziiert sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Zahlbereich und sei , . Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element ist genau dann prim, wenn der zugehörige Hauptdivisor die Gestalt mit einem Primideal besitzt.

Das Element ist genau dann irreduzibel, wenn minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Zahlbereich und sei als ein Produkt

mit Primelementen und einer Einheit gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen Hauptdivisor die Gleichheit

gilt, wobei die die von erzeugten Primideale bezeichnen.


Aufgabe (7 Punkte)

Sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist die Potenz einer Primzahl.
  2. Der Restklassenring ist zusammenhängend.
  3. Der Restklassenring ist lokal.
  4. Die Reduktion von ist ein Körper.
  5. Jeder Nullteiler von ist nilpotent.
  6. Der Restklassenring besitzt genau ein Primideal.
  7. Der Restklassenring besitzt genau ein maximales Ideal.