Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 23

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$. Es sei ${}R=\bigcap _{i\in I}R_{i}$, wobei die ${}R_{i}\subseteq K$, ${}i\in I$, alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: ${}R$ ist normal.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D\neq 1$ quadratfrei und ${}D=1\mod 4$. Finde in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ derart, dass die Lokalisierung an ${}{\mathfrak {p}}$ kein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Hauptdivisor zur Gaußschen Zahl ${}5+7{\mathrm {i} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-5}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-5$. Betrachte in ${}R$ die Zerlegung

${}2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,.$

Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisoren zu diesen Elementen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f,g\in R$, ${}f,g\neq 0$. Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die Hauptdivisoren ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ und ${}\operatorname {div} {\left(g\right)}$ genau dann gleich sind, wenn ${}f$ und ${}g$ assoziiert sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element ${}f$ ist genau dann prim, wenn der zugehörige Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ die Gestalt ${}1{\mathfrak {p}}$ mit einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ besitzt.

Das Element ${}f$ ist genau dann irreduzibel, wenn ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren ${}\neq 0$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$ als ein Produkt

${}f=up_{1}^{\nu _{1}}\cdots p_{r}^{\nu _{r}}\,$

mit Primelementen ${}p_{i}$ und einer Einheit ${}u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen Hauptdivisor die Gleichheit

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\nu _{1}(p_{1})+\cdots +\nu _{r}(p_{r})\,$

gilt, wobei die ${}(p_{i})$ die von ${}p_{i}$ erzeugten Primideale bezeichnen.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}n$ ist die Potenz einer Primzahl.
2. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist zusammenhängend.
3. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist lokal.
4. Die Reduktion von ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist ein Körper.
5. Jeder Nullteiler von ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist nilpotent.
6. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ besitzt genau ein Primideal.
7. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ besitzt genau ein maximales Ideal.