Lemma von Schur/Kommutative Gruppe/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}G$ eine Gruppe und seien ${}V_{1},V_{2}$ zwei ${}K$-Vektorräume mit zwei gegebenen irreduziblen Darstellungen ${}\rho _{1}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V_{1}\right)}$ und ${}\rho _{2}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V_{2}\right)}$. Es sei ${}\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{2}$ eine lineare Abbildung mit

${}\sigma _{2}\circ \varphi =\varphi \circ \sigma _{1}\,$

für alle ${}\sigma \in G$, wobei ${}\sigma _{i}$ den zu ${}\sigma$ gehörenden Automorphismus auf ${}V_{i}$ bezeichnet.

Dann ist ${}\varphi =0$ oder aber ${}\varphi$ definiert eine Äquivalenz der beiden Darstellungen.

Beweis

Es sei ${}\varphi \neq 0$. Wir müssen zeigen, dass ${}\varphi$ ein Isomorphismus ist. Es sei ${}U:=\operatorname {kern} \varphi$. Nach Fakt ist ${}U$ ${}G$-invariant. Wegen der Irreduzibilität von ${}\rho _{1}$ ist ${}U=0$ oder ${}U=V_{1}$, wobei die zweite Möglichkeit wegen ${}\varphi \neq 0$ ausscheidet. Also ist der Kern trivial und damit ist nach Fakt ${}\varphi$ injektiv. Es sei jetzt ${}W:=\operatorname {bild} \varphi$. Nach Fakt ist ${}W$ ebenfalls ${}G$-invariant. Der Fall ${}W=0$ ist wegen ${}\varphi \neq 0$ ausgeschlossen, also ist ${}W=V_{2}$ wegen der Irreduzibilität von ${}\rho _{2}$ und somit ist ${}\varphi$ auch surjektiv.

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Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}G$ eine Gruppe und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}\rho \colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ eine irreduzible Darstellung und es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung mit

${}\sigma \circ \varphi =\varphi \circ \sigma \,$

für alle ${}\sigma \in G$.

Dann ist ${}\varphi$ eine Streckung.

Beweis

Aufgrund der Voraussetzung an ${}K$ besitzt ${}\varphi$ einen Eigenwert ${}\lambda$. Wir betrachten ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$. Da eine Streckung mit jedem Endomorphismus vertauscht, gilt für ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ ebenfalls die Voraussetzung. Nach Fakt ist also ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ ein Isomorphismus oder gleich ${}0$. Da es einen nichttrivialen Kern (nämlich den Eigenraum zu ${}\lambda$) besitzt, muss ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}=0$ sein, also ist ${}\varphi$ ein skalares Vielfaches der Identität.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}G$ eine kommutative Gruppe.

Dann ist jede irreduzible Darstellung von ${}G$ in einen endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum eindimensional.

Beweis

Es sei

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

eine irreduzible Darstellung. Wegen der Kommutativität von ${}G$ gilt für die zu ${}\sigma ,\tau \in G$ gehörenden linearen Abbildungen

${}\sigma \circ \tau =\tau \circ \sigma \,.$

Aus Fakt, angewandt für festes ${}\tau$ und alle ${}\sigma$, folgt, dass ${}\tau$ eine Streckung ist. Dann sind aber überhaupt sämtliche Automorphismen der Darstellung Streckungen. Unter einer Streckung ist aber jeder Untervektorraum invariant, so dass in diesem Fall jeder Untervektorraum ${}G$-invariant ist. Dann muss aber wegen der Irreduzibilität ${}V$ eindimensional sein.

$\Box$