Lineare Abbildung/Untervektorräume/Kern/Einführung/Textabschnitt

Eine typische und wohl auch namensgebende Eigenschaft einer linearen Abbildung ist, dass sie Geraden wieder auf Geraden (oder Punkte) abbildet. Allgemeiner ist folgende Aussage.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für einen Untervektorraum  ${}S\subseteq V$  ist auch das Bild ${}\varphi (S)={\left\{\varphi (v)\mid v\in S\right\}}$ ein Untervektorraum von ${}W$.
2. Insbesondere ist das Bild  ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (V)$  der Abbildung ein Untervektorraum von ${}W$.
3. Für einen Untervektorraum  ${}T\subseteq W$  ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)\in T\right\}}$ ein Untervektorraum von ${}V$.
4. Insbesondere ist ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untervektorraum von ${}V$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung. Dann nennt man

${}\operatorname {kern} \varphi :=\varphi ^{-1}(0)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

den Kern von ${}\varphi$.

Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum von ${}V$.

Bemerkung  

Zu einer ${}m\times n$-Matrix ${}M$ ist der Kern der durch ${}M$ gegebenen linearen Abbildung

$K^{n}\longrightarrow K^{m},\,x\longmapsto Mx,$

einfach der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems

${}Mx=0\,.$

Wichtig ist das folgende Injektivitätskriterium.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn  ${}\operatorname {kern} \varphi =0$  ist.

Beweis

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben  ${}0\in V$  keinen weiteren Vektor  ${}v\in V$  mit  ${}\varphi (v)=0$  geben. Also ist  ${}\varphi ^{-1}(0)=\{0\}$. 
Es sei umgekehrt  ${}\operatorname {kern} \varphi =0$  und seien  ${}v_{1},v_{2}\in V$  gegeben mit  ${}\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$.  Dann ist wegen der Linearität

${}\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$

Daher ist  ${}v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$  und damit  ${}v_{1}=v_{2}$. 

$\Box$