Lineare Abbildung/Untervektorräume/Kern/Einführung/Textabschnitt
Eine typische und wohl auch namensgebende Eigenschaft einer linearen Abbildung ist, dass sie Geraden wieder auf Geraden (oder Punkte) abbildet. Allgemeiner ist folgende Aussage.
Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und
sei eine -lineare Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
- Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
- Für einen Untervektorraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
- Insbesondere ist ein Untervektorraum von .
Beweis
Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und
sei eine -lineare Abbildung. Dann nennt man
den Kern von .
Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum von .
Zu einer -Matrix ist der Kern der durch gegebenen linearen Abbildung
einfach der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems
Wichtig ist das folgende Injektivitätskriterium.
Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und
sei eine -lineare Abbildung.
Dann ist genau dann injektiv, wenn ist.
Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
keinen weiteren Vektor
mit
geben. Also ist
.
Es sei umgekehrt
und seien
gegeben mit
.
Dann ist wegen der Linearität
Daher ist
und damit
.