Lineare Abbildung/Vielfachheiten/Einführung/Textabschnitt
Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll. Es sei
eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum und . Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms im charakteristischen Polynom die algebraische Vielfachheit von , die wir mit bezeichnen, und die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also
die geometrische Vielfachheit von . Nach Fakt ist die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt. Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und .
Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
Sei und sei eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch zu einer Basis von ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt
Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe gleich , sodass die algebraische Vielfachheit mindestens ist.
Wir betrachten -Scherungsmatrizen
mit . Das charakteristische Polynom ist
sodass der einzige Eigenwert von ist. Den zugehörigen Eigenraum berechnet man als
Aus
folgt, dass ein Eigenvektor ist, und dass bei der Eigenraum eindimensional ist (bei liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts gleich , die geometrische Vielfachheit gleich .