Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein noetherscher lokaler Ring und ein endlich erzeugter -Modul. Dann nennt man die Multiplizität des assoziierten graduierten Moduls die Hilbert-Samuel-Multiplizität von .
Entsprechend wird die Hilbert-Samuel-Funktion und das Hilbert-Samuel-Polynom zu unter Bezug auf den assoziierten graduierten Moduls definiert. Insbesondere sind diese Konzepte für den lokalen Ring selbst definiert und die Hilbert-Samuel-Multiplizität liefert eine Invariante für lokale Ringe.
Bemerkung
Entscheidend für die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines endlich erzeugten Moduls über einem noetherschen lokalen Ring sind die -Vektorraumdimensionen von , denn diese sind nach Definition die -te Stufe des assoziierten graduierten Moduls. Es liegt eine standard-graduierte -Algebra und darüber nach Fakt ein endlich erzeugter graduierter Modul vor, so dass die Multiplizität wohldefiniert ist. Nach Fakt ist die Multiplizität eine natürliche Zahl.
Lemma
Es sei ein maximales Ideal in einem noetherschen Ring und es sei ein endlich erzeugter -Modul.
Dann ist die Hilbert-Samuel-Funktion des -Moduls gleich
Beweis
Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
Lemma
Es sei ein noetherscher lokaler Ring und ein endlich erzeugter -Modul.
Dann ist
d.h. die kumulative Hilbertfunktion des assoziierten graduierten Moduls misst die Länge von .
Beweis
Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von -Homomorphismen
von -Moduln endlicher Länge. Dabei gilt nach Fakt
Somit ist
und das ist die Definition der kumulativen Hilbertfunktion.
Satz
Es sei
ein Polynom mit dem Untergrad .
Dann ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des Hyperflächenringes gleich .
Beweis
Nach Voraussetzung hat die Gestalt
Es sei das maximale Ideal im Polynomring . Dabei gilt
Für ein weiteres Polynom (mit ) ist . Daher liegt eine kurze exakte Sequenz
vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Die Dimension von ist nach Aufgabe gleich
Daher ergibt sich für die Gleichheit
Dies ist die Behauptung.