Produkt von Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es seien und zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten und . Dann nennt man den Produktraum mit den Karten

(mit und ) das Produkt der Mannigfaltigkeiten und .

Es handelt sich dabei in der Tat um eine Mannigfaltigkeit, siehe Aufgabe. Eine Produktmannigfaltigkeit der Form nennt man auch Zylinder über . Zu abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten und ist die Produktmannigfaltigkeit eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von , siehe Aufgabe.



Lemma  

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die Projektionen

    und

    sind differenzierbare Abbildungen.

  2. Der Tangentialraum in einem Punkt ist .
  3. Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung

    genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen und differenzierbar sind.

Beweis  

(1). Durch Übergang zu Karten können wir annehmen, dass und offene Teilmengen im bzw. im sind. In diesem Fall handelt es sich um eine Einschränkung der linearen Projektion , die nach Fakt stetig differenzierbar ist.
(2). Die differenzierbaren Projektionen und liefern die linearen Tangentialabbildungen und und damit insgesamt die lineare Abbildung

Zum Nachweis der Bijektivität kann man zu Karten übergehen und annehmen, dass und offene Teilmengen sind. Diese Abbildung wird dann zur Bijektion


(3). Für einen fixierten Punkt kann man unter Verwendung von Kartenumgebungen von und von und sich darauf zurückziehen, dass alle drei Mannigfaltigkeiten offene Mengen in euklidischen Räumen sind. Wenn beide Abbildungen stetig differenzierbar sind, so folgt nach Aufgabe die stetige Differenzierbarkeit der Gesamtabbildung. Die Umkehrung ist klar.


Toroidal coord.png


Beispiel  

Das Produkt der Kreislinie mit sich selbst, also , heißt Torus. Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im realisieren. Dazu seien und positive reelle Zahlen mit . Dann ist die Menge

ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines (aufgeblasenen) „Fahrradschlauches“, dessen „Radradius“ gleich und dessen „Schlauchradius“ gleich ist (das Rad liegt in der -Ebene). Der Zusammenhang mit dem Produkt ergibt sich, indem man dem Produktwinkel den Punkt zuordnet.