Produkt von Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$. Dann nennt man den Produktraum ${}M\times N$ mit den Karten

$\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$

(mit ${}(i,j)\in I\times J$ und ${}U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.

Es handelt sich dabei in der Tat um eine Mannigfaltigkeit, siehe Aufgabe. Eine Produktmannigfaltigkeit der Form ${}M\times \mathbb {R}$ nennt man auch Zylinder über ${}M$. Zu abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{\ell }$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ ist die Produktmannigfaltigkeit ${}M\times N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{\ell }\times \mathbb {R} ^{k}=\mathbb {R} ^{\ell +k}$, siehe Aufgabe.

Lemma

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ${}M\times N$ ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Projektionen

   $p_{1}\colon M\times N\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x,$

   und

   $p_{2}\colon M\times N\longrightarrow N,\,(x,y)\longmapsto y,$

   sind differenzierbare Abbildungen.

2. Der Tangentialraum in einem Punkt ${}R=(P,Q)$ ist ${}T_{R}(M\times N)=T_{P}M\times T_{Q}N$.
3. Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung

   $\varphi \times \psi \colon L\longrightarrow M\times N,\,u\longmapsto (\varphi (u),\psi (u)),$

   genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen ${}\varphi$ und ${}\psi$ differenzierbar sind.

Beweis

(1). Durch Übergang zu Karten können wir annehmen, dass ${}M$ und ${}N$ offene Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{m}$ bzw. im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind. In diesem Fall handelt es sich um eine Einschränkung der linearen Projektion ${}\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, die nach Fakt stetig differenzierbar ist.
(2). Die differenzierbaren Projektionen ${}p_{1}\colon M\times N\rightarrow M$ und ${}p_{2}\colon M\times N\rightarrow N$ liefern die linearen Tangentialabbildungen ${}T_{R}(p_{1})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{P}M$ und ${}T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{Q}N$ und damit insgesamt die lineare Abbildung

$T_{R}(p_{1})\times T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\longrightarrow T_{P}M\times T_{Q}N.$

Zum Nachweis der Bijektivität kann man zu Karten übergehen und annehmen, dass ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind. Diese Abbildung wird dann zur Bijektion

$p_{1}\times p_{2}\colon \mathbb {R} ^{m+n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}.$

(3). Für einen fixierten Punkt ${}A\in L$ kann man unter Verwendung von Kartenumgebungen von ${}A$ und von ${}\varphi (A)$ und ${}\psi (A)$ sich darauf zurückziehen, dass alle drei Mannigfaltigkeiten offene Mengen in euklidischen Räumen sind. Wenn beide Abbildungen stetig differenzierbar sind, so folgt nach Aufgabe die stetige Differenzierbarkeit der Gesamtabbildung. Die Umkehrung ist klar.

$\Box$

Beispiel

Das Produkt der Kreislinie mit sich selbst, also ${}M=S^{1}\times S^{1}$, heißt Torus. Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im ${}\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}$ realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im ${}\mathbb {R} ^{3}$ realisieren. Dazu seien ${}r$ und ${}R$ positive reelle Zahlen mit ${}0<r<R$. Dann ist die Menge

${\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}$

ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines (aufgeblasenen) „Fahrradschlauches“, dessen „Radradius“ gleich ${}R$ und dessen „Schlauchradius“ gleich ${}r$ ist (das Rad liegt in der $x-y$-Ebene). Der Zusammenhang mit dem Produkt ${}S^{1}\times S^{1}$ ergibt sich, indem man dem Produktwinkel ${}(\varphi ,\psi )$ den Punkt ${}((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$ zuordnet.