Projektive Ebene/C/Glatte Kurve/Riemannsche Fläche/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezeichnet man die Menge

$V_{+}(F)={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\,$

als die projektive Nullstellenmenge zu ${}F$.

Aufgrund der Homogenität ist diese Nullstellenmenge wohldefiniert, siehe Aufgabe.

Wenn man ${}V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ bestimmen möchte, so kann man die disjunkte Zerlegung

${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}=D_{+}(X_{0})\uplus V_{+}(X_{0})\,$

(ebenso für jede andere Variable) ausnutzen. Zur Bestimmung von ${}V_{+}(F)\cap D_{+}(X_{0})$ setzt man in ${}F$ die Variable ${}X_{0}$ gleich ${}1$ (das nennt man Dehomogenisierung) und muss die Lösungen im affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ von ${}F{\frac {1}{X_{0}}}=0$ finden. Dabei wird das Polynom inhomogen, gleichzeitig eliminiert man eine Variable. Die Dimension bleibt gleich, die Situation wird aber affin. Zur Bestimmung von ${}V_{+}(F)\cap V_{+}(X_{0})$ setzt man in ${}F$ die Variable ${}X_{0}$ gleich ${}0$ und muss die Lösungen im projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n-1}\cong V_{+}(X_{0})$ von ${}F{\frac {0}{X_{0}}}=0$ finden. Hier eliminert man eine Variable, das Polynom bleibt homogen, man bleibt projektiv, die Dimension reduziert sich um ${}1$.

Wir beschränken uns nun auf die Situation ${}V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$, man spricht von komplex-projektiven ebenen Kurven (wobei Kurven hier komplex-eindimensional bedeutet, reell gesehen handelt es sich um Flächen).

Satz

Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$. Für jeden Punkt ${}P\in V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ sei zumindest eine partielle Ableitung ${}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)$ ungleich ${}0$.

Dann ist ${}V_{+}(F)$ eine kompakte riemannsche Fläche.

Beweis

Wir betrachten die Situation auf dem affinen Stück

${}{\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(X)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

Dabei ist ${}V_{+}(F)\cap D_{+}(X)=V({\tilde {F}})$, wobei ${}{\tilde {F}}$ hier die Dehomogenisierung von ${}F$ bezüglich der Variablen ${}X$ bezeichnet, also in ${}F$ einfach ${}X=1$ gesetzt wird und die verbleibenden Variablen ${}Y$ und ${}Z$ sich auf ${}{\mathbb {C} }^{2}$ beziehen. Bei diesem Prozess ist (siehe Aufgabe)

${}{\left({\frac {\partial F}{\partial Y}}\right)}{\left({\frac {1}{X}}\right)}={\frac {\partial {\tilde {F}}}{\partial Y}}\,$

und

${}{\left({\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)}{\left({\frac {1}{X}}\right)}={\frac {\partial {\tilde {F}}}{\partial Z}}\,.$

Wegen Aufgabe ist in jedem Punkt der Kurve zumindest eine dieser partiellen Ableitungen ${}\neq 0$. Somit sind auf ${}V_{+}(F)\cap D_{+}(X)=V({\tilde {F}})\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ und ebenso auf den beiden anderen affinen Ausschnitten die Bedingungen aus Fakt erfüllt und die ${}V({\tilde {F}})$ sind jeweils eine riemannsche Fläche. Auf ${}D_{+}(X)\cap D_{+}(Y)$ passen die komplexen Strukturen zusammen, da der Satz über implizite Abbildungen eine eindeutige komplexe Struktur festlegt.

Die Kompaktheit ergibt sich aus Fakt.

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Wir geben dazu zwei konkrete Korollare.

Korollar

Zu ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ ist die ebene projektive Kurve ${}C=V_{+}(X^{d}+Y^{d}+Z^{d})\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine kompakte riemannsche Fläche.

Beweis

Wir verwenden Fakt. Die partiellen Ableitungen sind ${}dX^{d-1},dY^{d-1},dZ^{d-1}$. Diese Ableitungen sind nur bei ${}x=y=z=0$ simultan gleich ${}0$, doch diese Koordinaten repräsentieren keinen Puntk der projektiven Ebene und keinen Punkt der Kurve.

$\Box$

Solche Kurven nennt man Fermat-Kurven.

Korollar

Es sei ${}G\in {\mathbb {C} }[X,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d+1$, das in (homogen) verschiedene homogene Linearfaktoren der Form ${}\alpha _{i}X+\beta _{i}Z$ mit ${}\alpha _{i}\neq 0$ zerfalle.

Dann ist die durch die Gleichung ${}Y^{d}Z=G(X,Z)$ gegebene projektive Kurve im ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine kompakte riemannsche Fläche.

Beweis

Wir verwenden Fakt. Auf der offenen Menge ${}D_{+}(Z)$ erhält man die Gleichung ${}Y^{d}-G(X)=0$, wobei ${}G$ als Polynom in der einen Variablen ${}X$ keine mehrfache Nullstelle besitzt. Die partiellen Ableitungen sind ${}dY^{d-1}$ und ${}G'$. Wenn diese beiden in einem Punkt ${}(x,y)$ der Kurve verschwinden, so ist ${}y=0$ und damit ${}G(x)=0=G'(x)$, was wegen der Nullstellenbedingung nicht sein kann. Auf dem Komplement ${}V_{+}(Z)$ wird die Gleichung zu

${}0=G(X,0)=\alpha X^{d+1}\,$

mit einem Vorfaktor ${}\alpha \neq 0$, woraus ${}X=0$ folgt. Es gibt also nur noch den weiteren Punkt ${}P$ mit den Koordinaten ${}(0,1,0)$. Eine affine Umgebung dieses Punktes ist ${}D_{+}(Y)$, die dehomogenisierte Version der Gleichung auf diesem Teilstück ist ${}Z=G(X,Z)$. Die partielle Ableitung nach ${}Z$ ist ${}1+\sum \gamma _{ij}X^{i}Z^{j}$ mit ${}i+j=d$. Im Nullpunkt, der dem Punkt ${}P$ entspricht, ist dies gleich ${}1$, daher verschwinden dort ebenfalls nicht alle partiellen Ableitungen.

$\Box$