Riemannsche Fläche/Kompakt/Selbstprodukt/Divisorenklassengruppe/Textabschnitt

Eine Ansammlung von Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ (eventuell mit Wiederholungen) auf einer riemannschen Fläche ${}X$ legt den Divisor ${}\sum _{i=1}^{n}P_{i}$ und damit die Divisorklasse fest. Im kompakten Fall hat das Geschlecht ${}g$ die folgende Auswirkung. Unter ${}X^{g}$ verstehen wir einfach das ${}g$-fache Produkt der riemannschen Fläche mit sich selbst, was in natürlicher Weise eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension ${}g$ ist. Für den elliptischen Fall vergleiche man Fakt.

Satz

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Geschlecht ${}g\geq 1$. Es sei ${}Q\in X$ ein fixierter Punkt.

Dann ist die Abbildung

$X^{g}\longrightarrow \operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)},\,\left(P_{1},\,\ldots ,\,P_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{g}[P_{i}]-g[Q],$

surjektiv.

Beweis

Sei ${}D\in \operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}$ vorgegeben. Wir betrachten den Divisor ${}E=D+gQ$. Dieser hat den Grad ${}g$. Nach Fakt ist somit die Dimension von ${}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(E))$ positiv und das bedeutet, dass es eine meromorphe Funktion ${}f$ gibt, deren Hauptdivisor

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}+E\geq 0\,$

erfüllt. Da der Grad dieses effektiven Divisors nach Fakt gleich ${}g$ ist und er effektiv ist, besitzt dieser Divisor die Form

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}+E=\sum _{i=1}^{g}P_{i}\,$

mit gewissen Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Dieser Divisor ist linear äquivalent zu ${}E$ und daher ist ${}D$ linear äquivalent zu ${}\sum _{i=1}^{g}P_{i}-gQ$. Daher ist ${}[D]=\sum _{i=1}^{g}[P_{i}]-g[Q]$.

$\Box$

Die Abbildung ist nicht injektiv, da im Produkt ${}X^{g}$ die Reihenfolge der Punkte unterschieden wird, in der Divisorenklassengruppe aber nicht. Die richtige Frage ist, ob die entsprechende Abbildung, die vom sogenannten symmetrischen Produkt

${}S^{g}(X)=X^{g}/S_{g}\,$

ausgeht, wobei ${}S_{g}$ die Permutationsgruppe mit ${}g$ Elementen bezeichnet und die natürliche Operation betrachtet wird, injektiv ist. Dies ist aber im Allgemeinen auch nicht der Fall.

Korollar

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Geschlecht ${}1$. Es sei ${}Q\in X$ ein fixierter Punkt.

Dann ist die Abbildung

$X\longrightarrow \operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)},\,P\longmapsto P-Q,$

bijektiv.

Beweis

Die Surjektivität ist ein Spezialfall von Fakt. Zum Nachweis der Injektivität seien ${}P_{1},P_{2}\in X$ und sei ${}[P_{1}]-[Q]=[P_{2}]-[Q]$. Dann ist ${}P_{1}-P_{2}$ ein Hauptdivisor. Es gibt also eine meromorphe Funktion ${}f$ auf ${}X$ mit

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=P_{1}-P_{2}\,.$

Diesem ${}f$ entspricht bei ${}P_{1}\neq P_{2}$ nach Fakt eine endliche holomorphe Abbildung

$f\colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$

wobei das Urbild zu ${}0$ (und zu ${}\infty$) aus einem einzigen Punkt besteht (nämlich aus ${}P_{1}$ bzw ${}P_{2}$). Nach Fakt ist dann ${}f$ bijektiv und somit biholomorph. Die projektive Gerade hat aber nach Fakt das Geschlecht ${}0$.

$\Box$