Stanley-Reisner-Ring/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem simplizialen Komplex $\mathrm{\Delta }$ auf $V$ und einem kommutativen Ring $R$ nennt man den Restklassenring

$R[\mathrm{\Delta }]=R[X_v,v\in V]/(\prod _{v\in A}{X}_v:A\subseteq V\text{ ist keine Seite von }\mathrm{\Delta })$

den Stanley-Reisner-Ring zu $\mathrm{\Delta }$ (über $R$).

Man macht also aus der Eckenmenge $V$ die Indexmenge für eine Variablenmenge, bildet den Polynomring $R[X_v,v\in V]$ und macht das von allen Monomen $\prod _{v\in A}{X}_v$, wenn $A$ eine Nichtseite ist, erzeugte Ideal zu $0$. Dieses Ideal nennt man auch das Stanley-Reisner-Ideal zum simplizialen Komplex. Es wird mit $I_{\mathrm{\Delta }}$ bezeichnet. Dieses Ideal wird bereits von den Monomen zu den minimalen Nichtseiten von $\mathrm{\Delta }$ erzeugt.

Wichtig ist allein schon die Situation, wenn der Grundring ein Körper ist. Man interessiert sich insbesondere für solche ringtheoretischen Eigenschaften der Stanley-Reisner-Ringe, die für alle Grundkörper gelten.

Beispiel

Zu einem Simplex  $\mathrm{\Delta }=𝔓(V)$  ist der zugehörige Stanley-Reisner-Ring einfach der Polynomring $R[X_v:v\in V]$, da es keine Nichtseite gibt und daher das Stanley-Reisner-Ideal das Nullideal ist.

Beispiel

Zum leeren simplizialen Komplex ist der Stanley-Reisner-Ring der Nullring, da in diesem Fall die leere Menge eine Nichtseite ist und das Produkt über die leere Menge $1$ ist. Das Stanley-Reisner-Ideal ist also das Einheitsideal und somit ist der Restklassenring der Nullring.

Beispiel

Zu dem simplizialen Komplex, der allein aus der leeren Menge besteht, ist der Stanley-Reisner-Ring der Grundring $R$. In diesem Fall ist jede Ecke $v$ eine Nichtseite und daher gehören die Variablen $X_v$ zum Stanley-Reisner-Ideal und erzeugen dieses. Der Restklassenring ist daher der Grundring.

Diese drei angeführten Möglichkeiten nennt man auch die trivialen simplizialen Komplexe.

Beispiel

Auf einer zweielementigen Menge  $V=\{e,f\}$  ist der einzige nichttriviale simpliziale Komplex gleich

$\mathrm{\Delta }=\{\mathrm{\varnothing },\{e\},\{f\}\}.$

Die einzige Nichtseite ist $\{e,f\}$ und daher ist

$R[\mathrm{\Delta }]=R[X_e,X_f]/\left(X_e{X}_f\right)\cong R[X,Y]/(XY).$

Beispiel

Auf einer dreielementigen Menge  $V=\{e,f,g\}$  betrachten wir die nichttrivialen simplizialen Komplexe und ihre Stanley-Reisner-Ringe, wobei wir die Variablen mit $X,Y,Z$ bezeichnen.

Bei

$\mathrm{\Delta }=\{\mathrm{\varnothing },\{e\},\{f\},\{g\}\}$

ist

$R[\mathrm{\Delta }]=R[X,Y,Z]/(XY,XZ,YZ).$

Bei

$\mathrm{\Delta }=\{\mathrm{\varnothing },\{e\},\{f\},\{g\},\{e,f\}\}$

ist

$R[\mathrm{\Delta }]=R[X,Y,Z]/(XZ,YZ).$

Bei

$\mathrm{\Delta }=\{\mathrm{\varnothing },\{e\},\{f\},\{g\},\{e,f\},\{e,g\}\}$

ist

$R[\mathrm{\Delta }]=R[X,Y,Z]/\left(YZ\right).$

Bei

$\mathrm{\Delta }=\{\mathrm{\varnothing },\{e\},\{f\},\{g\},\{e,f\},\{e,g\},\{f,g\}\}$

ist

$R[\mathrm{\Delta }]=R[X,Y,Z]/\left(XYZ\right).$

Beispiel

Zu einem ungerichteten Graphen $(V,E)$, aufgefasst als simplizialer Komplex, besteht das Stanley-Reisner-Ideal aus sämtlichen Dreierprodukten $X_u{X}_v{X}_w$ mit $u,v,w$ paarweise verschieden und aus denjenigen Produkten $X_u{X}_v$ mit der Eigenschaft, dass $\{u,v\}$ keine Kante des Graphen ist (die Dreierprodukte, die eine Nichtkante beinhalten, braucht man nicht als Erzeuger).

Die Nullstellenmenge des Stanley-Reisner-Ideals ist die Achsenraumkonfiguration, also  $V(I_{\mathrm{\Delta }})=\mathrm{\Delta }(K)$,  wie in Fakt gezeigt wurde. Die folgende Aussage zeigt, dass umgekehrt der Stanley-Reisner-Ring über einem unendlichen Körper der affine Koordinatenring der Achsenraumkonfiguration ist.

Lemma

Es sei $\mathrm{\Delta }$ ein simplizialer Komplex auf der Grundmenge $V$, $\mathrm{\Delta }(K)$ die zugehörige Achsenraumkonfiguration in $K^V$ und

$K[\mathrm{\Delta }]=K[X_v,v\in V]/I_{\mathrm{\Delta }}$

der zugehörige Stanley-Reisner-Ring über einem unendlichen Körper $K$.

Dann definiert ein Polynom  $F\in K[X_v,v\in V]$  genau dann die Nullfunktion auf $\mathrm{\Delta }(K)$, wenn  $F\in I_{\mathrm{\Delta }}$  ist.

Beweis

Die Inklusion  $I_{\mathrm{\Delta }}\subseteq \mathrm{Id}(\mathrm{\Delta }(K))$  ist klar nach Fakt. Es sei nun

$f\notin I_{\mathrm{\Delta }}.$

Wir schreiben

$f=\sum _{\nu }{a}_{\nu }{X}^{\nu },$

wobei wir direkt davon ausgehen können, dass nur solche Monome $X^{\nu }$ mit einem Koeffizienten  $a_{\nu }\ne 0$  auftreten, deren Träger eine Seite des simplizialen Komplexes ist (da die Monome zu Nichtseiten die Nullfunktion induzieren). Dabei sei $S$ eine Seite des simplizialen Komplexes, die als Träger eines Monoms in $f$ vorkommt. Es sei  $S\subseteq F$  eine Facette und $K^F$ der zugehörige Achsenraum, der nach Fakt eine irreduzible Komponente der Achsenraumkonfiguration ist. Ein Monom $X^{\nu }$, das in $f$ vorkommt und dessen Träger nicht in $F$ liegt, induziert auf dem Achsenraum $K^F$ die Nullfunktion und man kann es weglassen, da dies den Wert der Polynomfunktion auf diesem Achsenraum nicht ändert. Ohne Einschränkung liege also der Träger eines jedes Monoms von $f$ in $F$. Dann ist aber $f$ einfach ein Polynom in den Variablen $X_v$, $v\in F$, und der $K^F$ ist der natürliche affine Raum, auf dem diese Polynome als Funktionen wirken. Bei einem unendlichen Körper ist aber nach Aufgabe ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom nicht die Nullfunktion auf dem affinen Raum.

$◻$