Stetige Abbildungen/K^n/Verknüpfungen/Textabschnitt

Lemma

Die Negation

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto -x,$

und die Inversenbildung

${\mathbb {K} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {K} }\setminus \{0\},\,x\longmapsto x^{-1},$

sind stetig.

Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus

${}\vert {-x-(-y)}\vert =\vert {-x+y}\vert \,.$

Zur zweiten Aussage sei ${}x\neq 0$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei ${}b=\vert {x}\vert >0$. Wir setzen ${}\delta ={\min {\left({\frac {b^{2}\epsilon }{2}},{\frac {b}{2}}\right)}}$. Dann gilt für jedes ${}y$ mit ${}\vert {x-y}\vert \leq \delta$ die Abschätzung (wegen ${}\vert {y}\vert \geq b/2$)

${}\vert {x^{-1}-y^{-1}}\vert =\vert {\frac {y-x}{xy}}\vert ={\frac {\vert {y-x}\vert }{\vert {x}\vert \cdot \vert {y}\vert }}\leq {\frac {b^{2}\epsilon /2}{b^{2}/2}}=\epsilon \,.$

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Lemma

Die Addition

${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und die Multiplikation

${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

sind stetig.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und seien Funktionen

$f_{i}\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }$

(für $i=1,\ldots ,m$) gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung

$f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,x\longmapsto {\left(f_{1}(x),\ldots ,f_{m}(x)\right)}.$

Dann ist ${}f$ genau dann stetig, wenn alle Komponentenfunktionen ${}f_{i}$ stetig sind.

Beweis

Es genügt, diese Aussage für ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ zu zeigen. Dafür folgt sie direkt aus Fakt unter Verwendung von Fakt.

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Lemma

Seien

$f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

$f+g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

$f-g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

$f\cdot g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$, auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

$f/g\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)/g(x),$

stetig.

Beweis

Wir betrachten Abbildungsdiagramme der Form

${\mathbb {K} }{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {+}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }.$

Die Abbildung links ist stetig aufgrund von Fakt. Die rechte Abbildung ist stetig aufgrund von Fakt. Daher ist wegen Fakt auch die Gesamtabbildung stetig. Die Gesamtabbildung ist aber die Addition der beiden Funktionen. Für die Multiplikation verläuft der Beweis gleich, für die Negation und die Division muss man zusätzlich Fakt heranziehen und (für die Division) das Diagramm

$U{\stackrel {f,g^{-1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {\cdot }{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$

betrachten.

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Korollar

Polynomfunktionen

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto P(x),$

sind stetig.

Beweis

Aufgrund von Fakt sind für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Potenzen

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto x^{n},$

stetig. Daher sind dann auch für jedes ${}a\in {\mathbb {K} }$ die Abbildungen

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto ax^{n},$

stetig und wiederum aufgrund von

Fakt sind dann auch alle Funktionen

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

stetig.

$\Box$

Rationale Funktionen sind auf ihrer Definitionsmenge stetig.

Korollar

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$ zwei Polynome und es sei ${}U={\left\{x\in {\mathbb {K} }\mid Q(x)\neq 0\right\}}$.

Dann ist die rationale Funktion

$U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},$

stetig.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und aus Fakt.

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Satz

Es sei ${}{\mathbb {K} }^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen und sei

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ stetig.

Beweis

Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ annehmen. Aufgrund von Fakt können wir ${}m=1$ annehmen. Die Abbildung sei durch

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},$

mit ${}a_{i}\in \mathbb {R}$ gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei ${}a={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}>0$. Es sei ${}x\in \mathbb {R} ^{n}$ und ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Für alle ${}y\in \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}d{\left(x,y\right)}\leq {\frac {\epsilon }{na}}$ ist insbesondere ${}\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{na}}$ für alle ${}i$ und daher ist

${}{\begin{aligned}d{\left(\varphi (x),\varphi (y)\right)}&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}-\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{i}}\vert \\&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq na\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$