Vektorraum/Basiswechsel/Diagramm/Einführung/Textabschnitt

Wir wissen nach Fakt, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge haben, also die gleiche Anzahl von Basisvektoren besitzen. Jeder Vektor besitzt bezüglich einer jeden Basis eindeutig bestimmte Koordinaten (oder Koeffizienten). Wie verhalten sich diese Koordinaten zu zwei Basen untereinander? Dies beantwortet die folgende Aussage.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum der Dimension ${}n$ . Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ . Es sei

{}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,

mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$ , die wir zur ${}n\times n$ -Matrix

{}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor ${}u$ , der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten

${}{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus

{}u=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}=\sum _{j=1}^{n}s_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}c_{ij}\right)}w_{i}\,

und der Definition der Matrizenmultiplikation.

\Box

Wenn wir die zu einer Basis ${}{\mathfrak {v}}$ gehörende bijektive Abbildung (siehe Bemerkung)

\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V

betrachten, so kann man die vorstehende Aussage auch so ausdrücken, dass das Dreieck

{\begin{matrix}K^{n}&{\stackrel {M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}}{\longrightarrow }}&K^{n}&\\&\!\!\!\!\!\Psi _{\mathfrak {v}}\searrow &\downarrow \Psi _{\mathfrak {w}}\!\!\!\!\!&\\&&V&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

kommutiert.^[1]

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum der Dimension ${}n$ . Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ . Es sei

{}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,

mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$ . Dann nennt man die ${}n\times n$ -Matrix

{}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}\,

die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {w}}$ .

Statt Übergangsmatrix sagt man auch Transformationsmatrix oder Basiswechselmatrix.

Bemerkung

In der ${}j$ -ten Spalte der Transformationsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ stehen die Koordinaten von ${}v_{j}$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ . Der Vektor ${}v_{j}$ hat bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}e_{j}$ , und wenn man die Matrix auf ${}e_{j}$ anwendet, erhält man die ${}j$ -te Spalte der Matrix, und diese ist eben das Koordinatentupel von ${}v_{j}$ in der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ . Bei einem eindimensionalen Raum mit

{}v=cw\,

ist ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=c={\frac {v}{w}}$ , wobei der Bruch in der Tat wohldefiniert ist und wodurch man sich die Reihenfolge der Basen in dieser Schreibweise merken kann. Eine weitere Beziehung ist

{}{\mathfrak {v}}={{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\right)}^{\text{tr}}}{\mathfrak {w}}\,,

wobei hier die Matrix aber nicht auf ein ${}n$ -Tupel aus ${}K$ , sondern auf ein ${}n$ -Tupel aus ${}V$ angewendet wird und sich ein neues ${}n$ -Tupel aus ${}V$ ergibt. Dies könnte man als Argument dafür ansehen, die Übergangsmatrix direkt als ihre Transponierte anzusetzen, doch betrachtet man das in Fakt beschriebene Transformationsverhalten als ausschlaggebend.

Wenn

{}V=K^{n}\,

und ${}{\mathfrak {e}}$ die Standardbasis davon ist und ${}{\mathfrak {v}}$ eine weitere Basis, so erhält man die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {e}}$ von ${}{\mathfrak {e}}$ nach ${}{\mathfrak {v}}$ , indem man ${}e_{j}$ als Linearkombination der Basisvektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ausdrückt und die entsprechenden Tupel als Spalten nimmt. Dagegen besteht ${}M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {v}}$ einfach aus den ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ als Spalten geschrieben.

Beispiel

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Standardbasis

{}{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,

und die Basis

{}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.

Die Basisvektoren von ${}{\mathfrak {v}}$ lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich

v_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=1{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,\,{\text{  und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}=-2{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.

Daher erhält man sofort

{}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}}\,.

Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}(4,-3)$ besitzt, bezüglich der Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ die Koordinaten

{}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}}\,.

Die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als Linearkombinationen von ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ ausdrücken. Eine direkte Rechnung (dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen) ergibt

{}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\frac {3}{7}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-{\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,

und

{}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.

Somit ist

{}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {2}{7}}\\-{\frac {2}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}\,.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum der Dimension ${}n$ . Es seien ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von ${}V$ .

Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,.$

Insbesondere ist

{}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\circ M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=E_{n}\,.

Beweis

Siehe Aufgabe.

\Box

↑ Die Kommutativität eines solchen Pfeil- bzw. Abbildungsdiagramms besagt einfach, dass die zusammengesetzen Abbildungen übereinstimmen, wenn ihre Definitionsmengen und ihre Wertemengen übereinstimmen. In diesem Fall heißt es einfach nur ${}\Psi _{\mathfrak {v}}=\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ .

[1] Die Kommutativität eines solchen Pfeil- bzw. Abbildungsdiagramms besagt einfach, dass die zusammengesetzen Abbildungen übereinstimmen, wenn ihre Definitionsmengen und ihre Wertemengen übereinstimmen. In diesem Fall heißt es einfach nur ${}\Psi _{\mathfrak {v}}=\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ .

[1]