Additive Kategorien/Einführung/Textabschnitt

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In den folgenden Definitionen bezeichnen wir die Morphismenmenge mit statt mit und sprechen von Homomorphismen.


Definition  

Eine Kategorie heißt additive Kategorie, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt.

  1. Für Objekte ist eine abelsche Gruppe.
  2. Die Verknüpfungsabbildungen

    sind -bilinear.

  3. Es gibt ein Nullobjekt .
  4. Es gibt endliche direkte Summen.
  5. Es gibt endliche direkte Produkte.


Definition  

Zu einem Homomorphismus in einer additiven Kategorie heißt ein Homomorphismus

Kern von , wenn für jedes Objekt der Komplex

exakt ist.


Definition  

Zu einem Homomorphismus in einer additiven Kategorie heißt ein Homomorphismus

Kokern von , wenn für jedes Objekt der Komplex

exakt ist.


Definition  

Eine abelsche Kategorie ist eine additive Kategorie, die zusätzlich die folgenden Eigenschaften erfüllt.

  1. Zu jedem Homomorphismus existiert ein Kern.
  2. Zu jedem Homomorphismus existiert ein Kokern.
  3. Ein Monomorphismus ist der Kern seines Kokerns.
  4. Ein Epimorphismus ist der Kokern seines Kerns.
  5. Ein Homomorphismus, der zugleich ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist, ist ein Isomorphismus.


Definition  

Eine Sequenz

in einer abelschen Kategorie heißt exakt, wenn es eine Faktorisierung

gibt, wobei der Kern von und ein Epimorphismus ist.


Definition  

Ein Objekt in einer abelschen Kategorie heißt injektives Objekt, wenn es für jeden Monomorphismus und jeden Morphismus in einen Morphismus mit gibt.


Definition  

Es sei ein Objekt in einer abelschen Kategorie . Man nennt einen exakten Komplex

mit injektiven Objekten eine injektive Auflösung von .


Definition  

Man sagt, dass eine abelsche Kategorie genügend viele injektive Objekte enthält, wenn es zu jedem Objekt ein injektives Objekt und einen Monomorphismus gibt.



Lemma  

Es sei eine abelsche Kategorien mit genügend vielen injektiven Objekten und es sei

eine kurze exakte Sequenz in .

Dann lässt sich eine injektive Auflösung von und eine injektive Auflösung von zu einer injektiven Auflösung von (als direkte Summe) zusammensetzen.

Beweis