Affin-algebraische Menge/Koordinatenring/Einführung/Textabschnitt

Sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$. Ein Polynom ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ definiert eine Funktion auf dem affinen Raum und induziert damit eine Funktion auf der Teilmenge ${}V$.

${\begin{matrix}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&{\stackrel {F}{\longrightarrow }}&K\\\uparrow &\nearrow &\\V&&\end{matrix}}$

Dabei induziert ein Element aus dem Verschwindungsideal (nach Definition) die Nullfunktion auf ${}V$, und zwei Polynome ${}G,H\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, deren Differenz zum Verschwindungsideal gehören, induzieren auf ${}V$ die gleiche Funktion. Es ist daher naheliegend, den Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ als Ring der polynomialen (oder algebraischen) Funktionen auf ${}V$ zu betrachten.

Definition

Zu einer affin-algebraischen Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man ${}R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von ${}V$.

Dieser Begriff ist nicht völlig unproblematisch, insbesondere, wenn ${}K$ nicht algebraisch abgeschlossen ist, siehe die Beispiele weiter unten. Wir erwähnen zunächst einige elementare Eigenschaften.

Proposition

Es sei ${}V={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge und sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}$ der zugehörige Koordinatenring. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}R$ ist reduziert.
2. ${}V=\emptyset$ genau dann, wenn ${}R$ der Nullring ist.
3. ${}V$ ist genau dann irreduzibel, wenn ${}R$ ein Integritätsbereich ist.
4. ${}V$ besteht genau dann aus einem einzigen Punkt, wenn ${}R=K$ ist.
5. Ist ${}K$ algebraisch abgeschlossen, und ${}V=V({\mathfrak {a}})$, so ist ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$.

Beweis

Es sei ${}I=\operatorname {Id} \,(V)$ das Verschwindungsideal zu ${}V$.

(1). Dies folgt aus Fakt und Fakt.

(2). ${}V=\emptyset$ ist äquivalent zu ${}1\in I$, und das ist äquivalent zu ${}R=0$.

(3). Dies folgt aus Fakt und Fakt.

(4). Es sei ${}V=\{P\}$, ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})$. Dann ist ${}I=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ und der Koordinatenring ist

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\cong K\,.$

Umgekehrt, wenn der Koordinatenring ${}K$ ist, so muss der zugehörige Restklassenhomomorphismus ein Einsetzungshomomorphismus ${}X_{i}\mapsto a_{i}$ sein, und das Verschwindungsideal zu ${}V$ muss ein Punktideal sein, und es ist ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V$. Wenn es noch einen weiteren Punkt ${}Q\in V$, ${}Q\neq P$, gibt, so hat man einen Widerspruch, da nicht alle ${}X_{i}-a_{i}$ in ${}Q$ verschwinden.

(5). Bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist ${}\operatorname {Id} \,(V)=\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$ nach dem Hilbertschen Nullstellensatz.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper.

Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Variablen. Bei ${}n=1$ folgt die Aussage daraus, dass ein Polynom vom Grad ${}d$ maximal ${}d$ Nullstellen besitzt. Zum Induktionsschritt sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das an allen Punkten von ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ verschwindet. Wir schreiben ${}F$ als

${}F=P_{d}X_{n}^{d}+P_{d-1}X_{n}^{d}+\cdots +P_{1}X_{0}+P_{0}\,$

mit Polynomen ${}P_{d},\ldots ,P_{0}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$. Wir müssen zeigen, dass ${}F=0$ ist, was zu ${}P_{i}=0$ für alle ${}i=0,\ldots ,d$ äquivalent ist. Es sei also (ohne Einschränkung) angenommen, dass ${}P_{d}$ nicht das Nullpolynom ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist es dann auch nicht die Nullfunktion, d.h. es gibt einen Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n-1})$ mit ${}P_{d}(a_{1},\ldots ,a_{n-1})\neq 0$. Damit ist ${}F(a_{1},\ldots ,a_{n-1})$ ein Polynom in der einen Variablen ${}X_{n}$ vom Grad ${}d$ und ist nach dem Fall einer Variablen nicht die Nullfunktion.

$\Box$

Beispiel

Fakt ist nicht richtig für endliche Körper. Für einen endlichen Körper besteht ein affiner Raum nur aus endlich vielen Punkten und es gibt viele Polynome, die auf all diesen Punkten verschwinden. Typische Beispiele werden durch die Polynome ${}X_{i}^{q}-X_{i}$ gegeben, wobei ${}q$ die Anzahl der Körperelemente bezeichnet.

Beispiel

Es sei ${}R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2})$. Da Quadrate im Reellen nie negativ sind, besteht die Nullstellenmenge des Polynoms ${}X^{2}+Y^{2}$ einzig aus dem Nullpunkt, ${}V(X^{2}+Y^{2})=\{(0,0)\}$. Das zugehörige Verschwindungsideal ist das maximale Ideal ${}(X,Y)$, und der zugehörige Restklassenring (der Koordinatenring) ist dann ${}\mathbb {R} [X,Y]/(X,Y)\cong \mathbb {R}$. Der Koordinatenring kann also vom Restklassenring, mit dem man startet und dessen Ideal das Nullstellengebilde definiert, sehr verschieden sein.