Affin-algebraische Menge/Koordinatenring/Einführung/Textabschnitt

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Sei eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal . Ein Polynom definiert eine Funktion auf dem affinen Raum und induziert damit eine Funktion auf der Teilmenge .

Dabei induziert ein Element aus dem Verschwindungsideal (nach Definition) die Nullfunktion auf , und zwei Polynome , deren Differenz zum Verschwindungsideal gehören, induzieren auf die gleiche Funktion. Es ist daher naheliegend, den Restklassenring als Ring der polynomialen (oder algebraischen) Funktionen auf zu betrachten.


Definition  

Zu einer affin-algebraischen Menge mit Verschwindungsideal nennt man den Koordinatenring von .

Dieser Begriff ist nicht völlig unproblematisch, insbesondere, wenn nicht algebraisch abgeschlossen ist, siehe die Beispiele weiter unten. Wir erwähnen zunächst einige elementare Eigenschaften.



Proposition  

Sei eine affin-algebraische Menge und sei der zugehörige Koordinatenring. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. ist reduziert.
  2. genau dann, wenn der Nullring ist.
  3. ist genau dann irreduzibel, wenn ein Integritätsbereich ist.
  4. besteht genau dann aus einem einzigen Punkt, wenn ist.
  5. Ist algebraisch abgeschlossen, und , so ist .

Beweis  

Es sei das Verschwindungsideal zu .

(1). Dies folgt aus Fakt und Fakt.

(2). ist äquivalent zu , und das ist äquivalent zu .

(3). Dies folgt aus Fakt und Fakt.

(4). Sei , . Dann ist und der Koordinatenring ist

Umgekehrt, wenn der Koordinatenring ist, so muss der zugehörige Restklassenhomomorphismus ein Einsetzungshomomorphismus sein, und das Verschwindungsideal zu muss ein Punktideal sein, und es ist . Wenn es noch einen weiteren Punkt , , gibt, so hat man einen Widerspruch, da nicht alle in verschwinden.

(5). Bei algebraisch abgeschlossen ist nach dem Hilbertschen Nullstellensatz.




Satz  

Sei ein unendlicher Körper.

Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring .

Beweis  

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Variablen. Bei folgt die Aussage daraus, dass ein Polynom vom Grad maximal Nullstellen besitzt. Zum Induktionsschritt sei ein Polynom, das an allen Punkten von verschwindet. Wir schreiben als

mit Polynomen . Wir müssen zeigen, dass ist, was zu für alle äquivalent ist. Sei also (ohne Einschränkung) angenommen, dass nicht das Nullpolynom ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist es dann auch nicht die Nullfunktion, d.h. es gibt einen Punkt mit . Damit ist ein Polynom in der einen Variablen vom Grad und ist nach dem Fall einer Variablen nicht die Nullfunktion.



Beispiel  

Fakt ist nicht richtig für endliche Körper. Für einen endlichen Körper besteht ein affiner Raum nur aus endlich vielen Punkten und es gibt viele Polynome, die auf all diesen Punkten verschwinden. Typische Beispiele werden durch die Polynome gegeben, wobei die Anzahl der Körperelemente bezeichnet.



Beispiel  

Sei . Da Quadrate im Reellen nie negativ sind, besteht die Nullstellenmenge des Polynoms einzig aus dem Nullpunkt, . Das zugehörige Verschwindungsideal ist das maximale Ideal , und der zugehörige Restklassenring (der Koordinatenring) ist dann . Der Koordinatenring kann also vom Restklassenring, mit dem man startet und dessen Ideal das Nullstellengebilde definiert, sehr verschieden sein.