Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Trigonometrische Summen

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Definition  

Zu einem Ring nennt man einen Charakter

der Einheitengruppe von einen multiplikativen Charakter auf .

Ein multiplikativer Charakter wird häufig durch den Wert auf die Nichteinheiten des Ringes fortgesetzt. Die Definition ist insbesondere für endliche Körper relevant.


Definition  

Zu einem Ring nennt man einen Charakter

der additiven Gruppe von in die Einheitengruppe von einen additiven Charakter auf .

Die komplexe bzw. reelle Exponentialfunktion ist in diesem Sinne ein additiver Charakter. Hauptsächlich wird dieses Konzept aber für endliche Ringe und insbesondere endliche Körper verwendet, wobei dann die Werte Einheitswurzeln sind. Zum Restklassenring und einer -ten Einheitswurzel ist

ein additiver Charakter,


Definition  

Es sei ein endlicher kommutativer Ring, ein multiplikativer Charakter und ein additiver Charakter auf . Dann nennt man

die Gaußsche Summe zu und .

Die Gaußsche Summe ist eine komplexe Zahl. Da der multiplikative Charakter auf den Nichteinheiten durch fortgesetzt wird, könnte man genauso gut nur über die Einheiten aufsummieren.


Definition  

Es sei eine ungerade Primzahl und die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Sei . Dann nennt man

die -te quadratische Gaußsumme. Sie wird mit bezeichnet.

Der multiplikative Charakter ist hierbei das Legendre-Symbol und der additive Charakter ist durch gegeben. Besonders wichtig ist der Fall .



Lemma  

Es sei eine ungerade Primzahl und die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Sei eine zu teilerfremde Zahl.

Dann ist die quadratische Gaußsumme gleich

Beweis  

Da teilerfremd zu ist, werden in sämtliche Einheitswurzeln durchlaufen. Daher ist

nach Aufgabe. Es ist daher

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass für eine Lösung und für quadratische Einheiten zwei Lösungen besitzt.




Lemma  

Es sei eine ungerade Primzahl.

Dann gilt für das Quadrat der ersten quadratischen Gaußsumme die Gleichung

Beweis  



Definition  

Es sei eine ungerade Primzahl und die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Sei und sei ein multiplikativer Charakter auf . Dann nennt man

die -te Gaußsumme zu .




Lemma  

Es sei eine ungerade Primzahl.

Dann ist die Anzahl der Lösungen der Kreisgleichung über durch

Beweis  

Es sei die Anzahl der Lösungen, also

Dann ist (die Summe und die Mengen bezeihen sich auf )

da die beiden mittleren Summanden sind, weil es in gleich viele Quadrate und Nichtquadrate gibt.