Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Trigonometrische Summen

Definition

Zu einem Ring ${}R$ nennt man einen Charakter

$\chi \colon R^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$

der Einheitengruppe von ${}R$ einen multiplikativen Charakter auf ${}R$.

Ein multiplikativer Charakter wird häufig durch den Wert ${}0$ auf die Nichteinheiten des Ringes fortgesetzt. Die Definition ist insbesondere für endliche Körper relevant.

Definition

Zu einem Ring ${}R$ nennt man einen Charakter

$\alpha \colon (R,0,+)\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$

der additiven Gruppe von ${}R$ in die Einheitengruppe von ${}{\mathbb {C} }$ einen additiven Charakter auf ${}R$.

Die komplexe bzw. reelle Exponentialfunktion ist in diesem Sinne ein additiver Charakter. Hauptsächlich wird dieses Konzept aber für endliche Ringe und insbesondere endliche Körper verwendet, wobei dann die Werte Einheitswurzeln sind. Zum Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(m)$ und einer ${}m$-ten Einheitswurzel ${}\xi$ ist

$\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,r\longmapsto \xi ^{r},$

ein additiver Charakter,

Definition

Es sei ${}R$ ein endlicher kommutativer Ring, ${}\chi$ ein multiplikativer Charakter und ${}\alpha$ ein additiver Charakter auf ${}R$. Dann nennt man

${}G(\chi ,\alpha ):=\sum _{r\in R}\chi (r)\alpha (r)\,$

die Gaußsche Summe zu ${}\chi$ und ${}\alpha$.

Die Gaußsche Summe ist eine komplexe Zahl. Da der multiplikative Charakter auf den Nichteinheiten durch ${}0$ fortgesetzt wird, könnte man genauso gut nur über die Einheiten aufsummieren.

Definition

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Sei ${}a\in \mathbb {Z}$. Dann nennt man

$\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{ar}$

die ${}a$-te quadratische Gaußsumme. Sie wird mit ${}g_{a}$ bezeichnet.

Der multiplikative Charakter ist hierbei das Legendre-Symbol und der additive Charakter ist durch ${}r\mapsto \zeta ^{ar}$ gegeben. Besonders wichtig ist der Fall ${}a=1$.

Lemma

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Sei ${}a\in \mathbb {Z}$ eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl.

Dann ist die quadratische Gaußsumme gleich

${}g_{a}=\sum _{s=0}^{p-1}\zeta ^{as^{2}}\,.$

Beweis

Da ${}a$ teilerfremd zu ${}p$ ist, werden in ${}\zeta ^{ar}$ sämtliche Einheitswurzeln durchlaufen. Daher ist

${}\sum _{r=0}^{p-1}\zeta ^{ar}=0\,$

nach Aufgabe. Es ist daher

${}{\begin{aligned}g_{a}&=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{ar}\\&=\sum _{r=0}^{p-1}\zeta ^{ar}+\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{ar}\\&=\sum _{r=0}^{p-1}{\left(1+\left({\frac {r}{p}}\right)\right)}\zeta ^{ar}\\&=\sum _{r{\text{ ist Quadrat in }}\mathbb {Z} /(p)}{\left(1+\left({\frac {r}{p}}\right)\right)}\zeta ^{ar}\\&=\sum _{s=0}^{p-1}\zeta ^{as^{2}},\end{aligned}}$

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass ${}r=s^{2}$ für ${}r=0$ eine Lösung und für quadratische Einheiten zwei Lösungen besitzt.

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Lemma

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl.

Dann gilt für das Quadrat der ersten quadratischen Gaußsumme die Gleichung

${}g^{2}=(-1)^{(p-1)/2}p=\left({\frac {-1}{p}}\right)p\,.$

Beweis

Die hintere Gleichung beruht auf Fakt. Nach Definition ist

${}g=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}=\sum _{r=1}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}g^{2}&={\left(\sum _{r=1}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\right)}{\left(\sum _{s=1}^{p-1}\left({\frac {s}{p}}\right)\zeta ^{s}\right)}\\&=\sum _{1\leq r,s\leq p-1}\left({\frac {rs}{p}}\right)\zeta ^{r+s}.\end{aligned}}$

Mit der neuen Variablen

${}s=rt\,$

können wir dies als

${}{\begin{aligned}\sum _{1\leq r,t\leq p-1}\left({\frac {rrt}{p}}\right)\zeta ^{r+rt}&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}\\&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1,\,t\neq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}+\sum _{1\leq r\leq p-1}\left({\frac {-1}{p}}\right)\zeta ^{0}\\&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1,\,t\neq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}+(p-1)\left({\frac {-1}{p}}\right).\end{aligned}}$

Für ${}t\neq -1$, also ${}t$ zwischen ${}1$ und ${}p-2$, ist jedenfalls ${}\xi =\zeta ^{1+t}$ auch eine primitive ${}p$-te Einheitswurzel. Für ein solches fixiertes ${}t$ ist

${}\sum _{1\leq r\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\xi ^{r}=\left({\frac {t}{p}}\right)\sum _{1\leq r\leq p-1}\xi ^{r}=-\left({\frac {t}{p}}\right)\,.$

Die obige Summe ist also

$-\sum _{1\leq t\leq p-2}\left({\frac {t}{p}}\right)+(p-1)\left({\frac {-1}{p}}\right)=-\sum _{1\leq t\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)+p\left({\frac {-1}{p}}\right)=p\left({\frac {-1}{p}}\right)\,,$

da es nach Fakt gleich viele Quadrate wie Nichtquadrate in ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ gibt.

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Definition

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Sei ${}a\in \mathbb {Z}$ und sei ${}\chi$ ein multiplikativer Charakter auf ${}\mathbb {Z} /(p)$. Dann nennt man

${}g_{a}(\chi )=\sum _{r=0}^{p-1}\chi (r)\zeta ^{ar}\,$

die ${}a$-te Gaußsumme zu ${}\chi$.

Lemma

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl.

Dann ist die Anzahl der Lösungen der Kreisgleichung ${}x^{2}+y^{2}=1$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$ durch

${\begin{cases}p-1,{\text{ falls }}p=1\mod 4\,,\\p+1,{\text{ falls }}p=3\mod 4\,.\end{cases}}$

Beweis

Es sei ${}N$ die Anzahl der Lösungen, also

${}N={\#\left({\left\{(x,y)\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\right)}\,.$

Dann ist (die Summe und die Mengen bezeihen sich auf ${}\mathbb {Z} /(p)$)

${}{\begin{aligned}N&=\sum _{a+b=1}{\#\left({\left\{x\mid x^{2}=a\right\}}\right)}\cdot {\#\left({\left\{y\mid y^{2}=b\right\}}\right)}\\&=\sum _{a+b=1}{\left(1+\left({\frac {a}{p}}\right)\right)}\cdot {\left(1+\left({\frac {b}{p}}\right)\right)}\\&=\sum _{a+b=1}{\left(1+\left({\frac {a}{p}}\right)+\left({\frac {b}{p}}\right)+\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)\right)}\\&=\sum _{a+b=1}1+\sum _{a+b=1}\left({\frac {a}{p}}\right)+\sum _{a+b=1}\left({\frac {b}{p}}\right)+\sum _{a+b=1}\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)\\&=p+\sum _{a+b=1}\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right),\end{aligned}}$

da die beiden mittleren Summanden ${}0$ sind, weil es in ${}\mathbb {Z} /(p)$ gleich viele Quadrate und Nichtquadrate gibt.

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