Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei eine kommutative -Algebra und eine Gruppe, die auf als Gruppe von -Algebrahomomorphismen operiere. Ein Differentialoperator heißt -invariant, wenn

für jedes gilt.

Zur Multiplikation mit und einem Gruppenelement ist

wegen

Die Multiplikation mit einem Element ist also genau dann invariant als Operator, wenn das Element selbst invariant unter der Gruppenoperation ist.



Lemma  

Es sei eine kommutative -Algebra und eine Gruppe, die auf als Gruppe von -Algebrahomomorphismen operiere.

Ein -invarianter Differentialoperator induziert durch einschränken einen Differentialoperator auf dem Invariantenring .

Beweis  

Sei ein invarianter Differentialoperator. Wir müssen zunächst zeigen, dass das Bild unter des Unterringes wieder in liegt. Sei hierzu . Wegen der Invarianz des Operators und der Invarianz des Elementes ist

für alle . Daher ist invariant. Die -Linearität ist klar. Dass es sich um einen Differentialoperator handelt, ergibt sich durch Induktion über die Ordnung des Operators, wobei man direkt die induktive Definition des Operators im Oberring verwendet.


Für die Moduln der Haupteile ergibt sich folgende Interpretation für die invarianten Differentialoperatoren. Die Gruppe operiert auch auf über das kommutative Diagramm

aus dem zugleich die Verträglichkeit der Operation hervorgeht.



Lemma  

Es sei eine kommutative -Algebra und eine Gruppe, die auf als Gruppe von -Algebrahomomorphismen operiere. Für einen Differentialoperator sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Der Operator ist -invariant.
  2. Die zugehörige Linearform

    erfüllt die Eigenschaft

    für alle .

  3. Die zugehörige Linearform

    bildet den Fixmodul auf den Fixring ab.

Beweis  

Die erste Äquivalenz beruht dadrauf, dass die letzte Gleichheit zur Identität

äquivalent ist, und diese wiederum wegen

zu

äquivalent ist.

Es sei nun (2) erfüllt und . Dann ist

also ist invariant.

Wir argumentieren im Fall von Integritätsbereichen von endlichen Typ über dem Quotientenkörper und setzen als

an, wobei die Variablenmenge zu gehöre. Die Voraussetzung bedeutet, dass nach abgebildet wird, und es ist zu zeigen. Nehmen wir an, dies sei nicht der Fall. Dann können wir die Teilsumme der Summanden, bei denen die Koeffizientenfunktionen zu gehören, abziehen und erhalten einen Operator, bei dem keine Koeffizientenfunktion zu gehört. Es sei ein minimales Tupel. Dann ist

da ja für alle anderen beteiligten Monome gilt, und wird nicht nach abgebildet.


Zu einem Differentialoperator auf gehört der invariante Differentialoperator .



Lemma  

Es sei eine kommutative -Algebra und eine Gruppe, die auf als Gruppe von -Algebrahomomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei teilerfremd zur Charakteristik. Es sei ein Differentialoperator auf und sei

die Einschränkung auf den Invariantenring im Sinne von Fakt.

Dann ist

wobei der invariante Differentialoperator auf aufgefasst wird.

Beweis  

Sei . Dann ist einerseits

und andererseits ebenso

wegen der Invarianz von .


Eine Semiinvariante zum Charakter wird unter einem invarianten Operator auf eine ebensolche Semiinvariante abgebildet. Es ist nämlich

Daher ist der Quotient invariant.


Beispiel  

Wir betrachten die Operationen der Gruppe der -ten Einheitswurzeln auf , wobei durch wirkt. Der invariantenring ist . Der Operator ist nicht invariant, da

da ja die Automorphismen auf identisch wirken. Entsprechend ist für

Es ist also

Der invariant gemachte Operator wirkt


Der Operator ist dagegen invariant, da für




Lemma  

Es sei eine kommutative -Algebra und eine Gruppe, die auf als Gruppe von -Algebrahomomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei teilerfremd zur Charakteristik. Es sei ein -invarianter Operator auf und sei .

Dann ist

Beweis  

Für ist