Elementare und algebraische Zahlentheorie/10/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 3 | 4 | 6 | 2 | 0 | 2 | 5 | 3 | 3 | 4 | 5 | 0 | 0 | 44 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
- Die Folge der euklidischen Reste zu Elementen mit in einem euklidischen Bereich.
- Ein faktorieller Bereich .
- Eine primitive Einheit in .
- Ein Primideal in einem kommutativen Ring .
- Der Hauptdivisor zu einem Element , in einem Zahlbereich .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der kleine Fermat.
- Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.
- Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.
Aufgabe * (1 Punkt)
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte mit stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring .
a) Schreibe als Produktring
(im Sinne des chinesischen Restsatzes).
b) Wie viele Einheiten besitzt ?
c) Schreibe das Element in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von in .
Aufgabe * (2 Punkte)
Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert hat, aber kein Quadratrest vorliegt.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass es in jedem Zahlbereich abzählbar unendlich viele Primideale gibt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme ein Element aus , das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.
Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)
Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.
- Zeige, dass die Polynomfunktionen
mit linear unabhängig sind.
- Zeige, dass die Exponentialfunktionen
mit linear unabhängig sind.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)