Elementare und algebraische Zahlentheorie/10/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 3 4 6 2 0 2 5 3 3 4 5 0 0 44



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  2. Die Folge der euklidischen Reste zu Elementen mit in einem euklidischen Bereich.
  3. Ein faktorieller Bereich .
  4. Eine primitive Einheit in .
  5. Ein Primideal in einem kommutativen Ring .
  6. Der Hauptdivisor zu einem Element , in einem Zahlbereich .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der kleine Fermat.
  2. Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.
  3. Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstablelle, in der alle Produkte mit stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.


Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring .

a) Schreibe als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ?

c) Schreibe das Element in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von in .


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert hat, aber kein Quadratrest vorliegt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es in jedem Zahlbereich abzählbar unendlich viele Primideale gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme ein Element aus , das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

  1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

    mit linear unabhängig sind.

  2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

    mit linear unabhängig sind.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)