Elementare und algebraische Zahlentheorie/10/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	4	8	6	2	0	2	5	3	3	4	5	0	52

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Die Folge der euklidischen Reste zu Elementen ${}a,b\in R$ mit ${}b\neq 0$ in einem euklidischen Bereich.
3. Ein faktorieller Bereich ${}R$.
4. Eine primitive Einheit in ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
5. Ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
6. Der Hauptdivisor zu einem Element ${}f\in R$ ${}f\neq 0$, in einem Zahlbereich ${}R$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der kleine Fermat.
2. Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.
3. Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe ${}65$ und deren Produkt ${}1000$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${}i\cdot j$ mit ${}1\leq i,j\leq 9$ stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.

Aufgabe * (8 (1+2+3+2) Punkte)

Wir betrachten eine (einfachere, aber langsamere) Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen ${}a,b$.

Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn ${}a\neq b$ ist, so ersetzte das Paar ${}(a,b)$ durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn ${}a=b$ ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis ${}a$ ausgegeben.

1. Führe diesen Algorithmus für das Paar ${}(7,3)$ durch.
2. Zeige, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört.
3. Zeige, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt.
4. Man gebe für jedes ${}n$ ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante ${}n$ Schritte benötigt.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(360)$.

a) Schreibe ${}\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ${}\mathbb {Z} /(360)$?

c) Schreibe das Element ${}239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von ${}239$ in ${}\mathbb {Z} /(360)$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert ${}1$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es in jedem Zahlbereich abzählbar unendlich viele Primideale gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme ein Element aus ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-11}}]$, das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei ${}f\in R$ ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen.

1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

   $\varphi _{d}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{d},$

   mit ${}0\leq d<q$ linear unabhängig sind.

2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

   $\psi _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto b^{x},$

   mit ${}0\leq b<q$ linear unabhängig sind.

Aufgabe (0 Punkte)